如图，已知A、B、C、D分别为过抛物线y 2 =4x焦点F的直线与该抛物线和圆（x-1） 2 +y 2 =1的交点，则|AB|?

如图，已知A、B、C、D分别为过抛物线y 2 =4x焦点F的直线与该抛物线和圆（x-1） 2 +y 2 =1的交点，则|AB|?|CD|=______．

推荐答案推荐于2016-03-11

若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），
所以AB=1，CD=1，
从而|AB?CD|=1．
若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-1），因为直线过抛物线的焦点（1，0）
不妨设A（x_a ，y_a ），B（x_b ，y_b ），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，
|AF|=x_a +1，|DF|=x_b +1，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k² x² -（2k² +4）x+k² =0，由韦达定理有 x_a x_b =1
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=R=1
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x_a ，|CD|=|DF|-|CF|=x_b ．
所以|AB?CD|=x_a x_b =1
故答案为：1

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