设A,B均为n阶实对称矩阵,证明:A与B相似 A,B有相同的特征多项式答:实对称矩阵一定可以相似对角化,并且相似于矩阵diag(λ1,λ2,…,λn),AB相似则AB分别相似于其特征值构成的对角矩阵,两对角矩阵相似=>其对角线上的元素相等,则AB的特征值相同,即AB具有相同的特征多项式
n阶矩阵A,B相似,m阶矩阵C,D相似,证明:主对角线为A,C的分块矩阵和主对 ...答:证明: 由已知, 存在n阶可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B 存在m阶可逆矩阵Q, 满足 Q^-1CQ = D.令 H = diag(P,Q), 即 H= P 0 0 Q 则有 H^-1 diag(A,C) H = diag (P^-1AP, Q^-1CQ) = diag(B,D)即 主对角线为A,C的分块矩阵和主对角线为B,D的分块矩阵相似.