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凹函数的性质不等式
凸性和
凹性
对于证明
不等式
的有效性有多重要?
答:
凸性和
凹性
对于证明
不等式
的有效性非常重要。函数的
凹凸性
是描述函数图象弯曲程度的性质之一,它可以用来刻画
函数的性质
,如连续性、可微性、最值等。在证明不等式时,凸性可以用来证明某些不等式成立,而凹性则不能。例如,Jesen不等式就是一个利用凸性证明的重要不等式。
证明题【高等数学】
答:
(1)令f(x)=e^x f''(x)>0,f(x)为凹函数 利用
凹函数的性质
证明
不等式
(2)换元,化成含参量的积分 交换极限与积分运算的顺序 过程如下:
凹函数
是什么?
答:
总结起来,
凹函数的
定义是指函数的曲线在任意两点之间向上凸起,任意两点之间的连线位于或者与曲线相切。这种凸起
性质
可以通过定义的
不等式
或函数的二阶导数来判断。二阶导数大于零是凹函数的例题 假设函数 f(x) = x^3 + x,那么 f'(x) = 3x^2 + 1,f''(x) = 6x。我们可以看到,当 x > ...
函数的凹凸性
是怎么定义的
答:
那么这个函数就是凸函数。例子:设函数 在 上连续。如果对于 上的两点 ,恒有 1、 ,2、那么称第一个
不等式
中的 是区间 上的凸函数;称第二个不等式中的 为严格凸函数。同理如果恒有 1、 ,2、那么称第一个不等式中的 是区间 上的
凹函数
;称第二个不等式中的 为严格凹函数。
凹函数
为什么有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2?讲一下它的定义和
性质
答:
或者说下
凹函数
满足这个
不等式
(简单记忆为 下凹函数满足函数值小于等于平均值)(2)比如f(x)=-x^2图形上可见:弧度向上凹称上凹函数(或称上凸函数),其他分析结论与(1)中刚好相反,此处省略叙述 (3)对于诸如f(x)=SINx这样的函数[0,π]为上凹(上凸)函数[π,2π]为下凹(凸...
怎样证明下面的
不等式
答:
不妨设 a>b。于是 a/b>1 利用
凹函数的性质
,令f(y)=x^y。则有 f(-1) < 1/2*f(-1/2) + 1/2*f(-3/2) 。即 x^(-1) < 1/2*x^(-1/2) + 1/2*x^(-3/2)。令H(x)=x^(1/2)-x^(-1/2)-ln(x) .则H(1)=0.x>1时,求导 H‘(x)=1/2*x^(-1/2) +...
凹函数的
定义是什么?
答:
解题过程如下图:设函数f(x)在区间I上定义,若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有 f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的
凹函数
.若不等号严格成立,即“<”号成立,则称f(x)在I上是严格凹函数。
什么是上凸函数什么是下
凹函数
?
答:
上凸函数就是下
凹函数
,因为向上凸就是向下凹。如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数,且对这一区间中的任何两点X1、X2,当X1<X2时,有
不等式
:其中q1、q2为正数,q1+q2=1,这时,我们把函数f(x)叫做凹函数,或叫做下凸函数。如果把上述条件中的“≥”改成“>”,则叫做严格凹函数,...
如何判断一个函数是
凹函数
?
答:
如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数,且对这一区间中的任何两点X1、X2,当X1<X2时,有
不等式
其中q1、q2为正数,q1+q2=1,这时,我们把函数f(x)叫做
凹函数
,或叫做下凸函数。如果把上述条件中的“≥”改成“>”,则叫做严格凹函数,或叫做严格下凸函数。如果y=f(x)是(严格)凹函数...
高数
凹凸性
证明
不等式
,方法二中为什么说g(x)是连接A和B的?方法二有什...
答:
因为g(0)=f(0),g(1)=f(1),所以说 g(x)是连接A点f(0)和B点f(1)的一次函数。方法二是根据线段与
凹函数的
关系直接判断的(如题图中所示),即在[0,1]上,g(x)均大于等于f(x)。
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