在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。
那么称第一个不等式中的 是区间
上的凸函数;称第二个不等式中的
为严格凸函数。
同理如果恒有
那么称第一个不等式中的 是区间
上的凹函数;称第二个不等式中的
为严格凹函数。
扩展资料:
不过,在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸,是指曲线,而不是指函数,图像的凹凸与直观感受一致,却与函数的凹凸性相反。
但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外,国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说,可按如下方法准确说明:
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即V型,为“凸向原点”,或“下凸”(也可说上凹),(有的简称凸有的简称凹)
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即A型,为“凹向原点”,或“上凸”(下凹),(同样有的简称凹有的简称凸)
参考资料:百度百科—函数的凹凸性
函数的凹凸性的定义:
设函数f(x)在区间I上有定义,若对I中的任意两点x₁和x₂,和任意λ∈(0,1),都有:
f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂),
则称f为I上的凸函数,若不等号严格成立,即“>”号成立,则称f(x)在I上是严格凸函数。
同理,如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。
凹凸函数的判定方法:
1、在图像上任取两点A、B连接,若函数图像在两点间的部分均在直线下方,则把该函数在[A,B]之间的部分定义为凹函数。反正为凸函数。
2、求函数的二阶导函数,f”(X),若二阶导函数在[A,B]之间,则:
(1)若 f”(X) ≥ 0,原函数为凹函数;
(2)若 f”(X) ≤ 0,原函数为凸函数。
几何定义:
在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。
直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。凹函数就是图像向下凹进去的.
如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。
以上内容参考 百度百科-函数的凹凸性