函数的凹凸性是怎样定义的

Question

如题所述

Answer 1

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

例子：设函数 在 上连续。

如果对于 上的两点  ，恒有

1、 ，

2、

那么称第一个不等式中的 是区间  上的凸函数；称第二个不等式中的  为严格凸函数。

同理如果恒有

1、 ，

2、

那么称第一个不等式中的  是区间 上的凹函数；称第二个不等式中的 为严格凹函数。

扩展资料：

不过，在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。

但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。

另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

参考资料：百度百科—函数的凹凸性

Answer 2

设函数f(x)在区间i上定义，若对i中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1]
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在i上是严格凹函数。
如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。[1]
设f(x)在区间d上连续，如果对d上任意两点a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在d上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在d上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
几何定义
编辑
这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。[1]
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如
如果函数f(x)在区间i上二阶可导，则f(x)在区间i上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间i上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;[1-2]

Answer 3

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1]
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
通俗说，函数上某点x0，如果对这点附近的函数值f（x）都不大于f（x0），则在该点是凸的。反之，是凹的。
对于函数f（x），如果f'(x)>0则是凸的，否则是凹的。