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用配方法将f=x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2+4x1x3+4x2x3 化为标准型，并写出所用的可逆线性变换
如题所述
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推荐答案 2013-06-02
f=x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2+4x1x3+4x2x3
=(x1+2x2+2x3)^2-3x2^2-3x3^2-4x2x3
=(x1+2x2+2x3)^2-3(x2+2/3x3)^2-5/3x3^2
作可逆线性变换：y1=x1+2x2+2x3 y2=√3(x2+2/3x3) y3=√(5/3x3)
则化为标准型：f=y1^2-y2^2-y3^2
追问
标准型
追答
标准型：f=y1^2-y2^2-y3^2
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用正交变换,将
二
次型
f=x1^2+x2^2+x
^3
+4x1x2+4x1x3+4x2x3化为标准型
答：
令y1
=x1+x2+x3，
y2=x1-
2x2+x3，
y3=x1-x3 则f=(5/3)y1^2-(1/6)y
2^2
-(1/2)y3^2 y1=x1+x2+x3 y2=x1-2x2+x3 y3=x1-x3
线性
变换求特征值|I*x-A|=0：x1=-2；x
2=1
；
x3=
4 x*P=A*P；求特征向量；P1=［-2/3-1/3-2/3］^T；P2=［1/32/3-2/3］^T；P3=［...
关于
二
次
型化
一般
为标准型的
问题
答：
例
，f=x1^2+x2^2+
3
x3^2+4x1x2+
2x
1x3+
2
x2x3
=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3 =(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作变换y1=x1+2x
2+x3,
y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得
标准型
f=y1^2-3y2^2+...
用正交变换,将
二
次型
f=x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2+4x1x3+4x2x3化为标准
形
答：
f=x
TAx 其中A＝ 1 2 2 2 1 -2 2 -2 1 令x＝Py,f=yTpTAPy. 矩阵P就是要求的正交矩阵。问题等价于用正交矩阵P将A对角化。求A的特征值，及对应的特征向量，再用施密特正交化处理一下。就得到如下结果 P＝ -1/√3 1/2 1/2 1/√3 0 1/2 1/√3 ...
化二
次型
f
(
x1,x2,
x3)
=x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2
-
4x2x3为标准型
答：
计算过程如下：f(x1,x2,x3)
=x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2
-4x2x f = (x1+2x2)^2-3x2^2+x3^2-
4x2x3
= (x1+2x2)^2-3(
x2+
(2/3)x3)^2+(7/3)x3^2 = y1^2-3y2^2+(7/3)y3^2
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x的平方减2x减3等于0配方法
设二次型fx1x2x3在正交变换
设二次型f(x1,x2,x3)=
二次型fx1x2x3秩为2
若二次型f(x1,x2,x3)
已知二次型f(x1,x2,x3)
f(x+1)=2f(x)
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f(x)=e^x
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