在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)求bn=an/2n-1证明:数列(bn)是等差数列,(2)求数an的n项和sn

Question

求人

Answer 1

(1)
证明：由式a(n+1)=2an+2^n左右两边同时除以2^n,可得:a(n+1)/2^n=a(n)/2^(n-1)+1 ①
　　 又题中令bn=an/2^(n-1),则b(n+1)=a(n+1)/2^n,将b(n)和b(n+1)带入①式得b(n+1)=b(n)+1
即 b(n+1)-b(n)=1 所以数列{bn}为等差数列

(2)
解：a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
∴a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
∴a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1
∴新数列{an/2^(n-1)}就成了一个以a1/2^0=1为首项 1为公差的等差数列
∴an=n×2^(n-1)
∴Sn=a1+a2+...+an
=1.2^0+2.2^1+...+n.2^(n-1) (1)
∴2Sn= 1.2^1+2.2^2+...+（n-1).2^(n-1)+n.2^n （2）
（1）-（2）得：-Sn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n.2^n
=1.(1-2^n)/(1-2)-n.2^n
=2^n-n.2^n-1
∴Sn=(n-1).2^n+1

Answer 2

(2)∵An+1=2An+2^n
∴An+1-An=An+2^n，An-An-1=An-1+2^n……A2-A1=A1+2^n
等号两边分别相加，得：An+1-A1=An+An-1+…+A1+n·2^n
即An+1-A1=Sn+n·2^n
∵Bn=1+(n-1)·1=n∴Bn+1=n+1
An+1=Bn+1·2^n=(n+1)·2^n
Sn=(n+1)·2^n-n·2^n-1=2^n-1

Answer 3

解：（1）an+1=2an+2n， bn+1=bn+1，故{bn}为等差数列，b1=1，bn=n．