设二元函数f在点p0的某邻域U（p0）内的偏导数f'x域f'y都有界，证明f在U（p0）内连续

Question

如题所述

Answer 1

用单变元的微分中值定理做估计。
|f(x，y)－f(x0，y0)|<=|f(x，y)－f(x，y0)|+|f(x，y0)－f(x0，y0)|
＝|af/ay(x，b)*(y－y0)|+|af/ax(c，y0)*(x－x0)|
<=M|y－y0|+M|x－x0|，
其中M是偏导数的界。af/ax af/ay是f对x y的偏导数。因此连续。
满足连续的定义：当(x，y)趋于(x0，y0)时，|f(x，y)－f(x0，y0)|趋于0就是连续。
你好好看看得到的不等式：|f(x，y)－f(x0，y0)|<=M(|y－y0|+|x－x0|)，不等式右边是趋于0的。