任何具有正测度的集合必有不可测子集 的证明过程 、

Question

如题所述

Answer 1

在集合E中定义一个对等关系x~y,当且仅当x-y属于有理数集，那么等于Aa的并集，a是下标每个Aa是一个对等集合，任取ba属于Aa,作集合C={ba|a属于指标集}，那么集合C是不可测的，下面给出证明。
对于任意x属于E，存在ba，使得x-ba属于有理数集，令x-ba=rj，ri是可列的。
那么集合E属于U(rj+B)属于U（rj+E）,其中j从1到无穷大。
并且对于不同的j和k，（rj+B）交（rk+B）是空集，用反证法，如若不然，则有x和y属于B，使得x+rj=y+rk,移项得x-y=rj-rk,结果属于有理数，说明x和y对等，则x必须等于y,得出rj等于rk，矛盾。
最后如果mE=0,则m(rj+B)=0,而这个集合是包含了测度大于0的E的，所以矛盾
如果mE>0,m { U (rj+B)} =U m(rj+B) =无穷大,其中j从1到无穷大，而这个集合是含于U（rj+E）的，矛盾。
纵上所述，任何具有正测度的集合必有不可测子集 的证明过程