如图1，抛物线y＝－x平方＋bx十c的顶点为Q，与x轴交于A（－I，0）、B（5，0）两点，与y轴

Question

如图1，抛物线y＝－x平方＋bx十c的顶点为Q，与x轴交于A（－I，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点c。（I）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；（2）在该抛牥线的对称轴上求一点P，使得三角形PAC的周长最小，请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE垂直x轴，垂足为E。若DE与直线BC交于点F。试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由。

Answer 1

(1)抛物线y＝－x^2＋bx十c过A（－1，0）、B（5，0），
∴0=-1-b+c,
0=-25+5b+c,
解得b=4,c=5.
∴抛物线的解析式是y=-x^2+4x+5=-（x-2)^2+9,①
它的顶点是Q(2，9).
(2)由①，C(0,5).设P(2，p),则
PA+PC=PB+PC>=BC,当P,B,C三点共线时取等号，
BC:y=5-x与x=2交于点P(2,3),为所求.
(3)设D(d,-d^2+4d+5),0<d<5,
DE⊥x轴于E(d,0),DE与BC交于F(d,5-d),
四边形DCEB为平行四边形,
<==>BC和DE互相平分，
<==>d=5/2,且-d^2+4d+5=2(5-d)=5，由后者，d=0或4，矛盾。
∴四边形DCEB不是平行四边形.