如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).(1)求该抛物线的解析式及顶点M坐标;(2)求△BCM面积与△ABC面积的比;(3)若P是x轴上一个动点,过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q,随着P点的运动,在抛物线上是否存在这样的点Q,使以A,P,Q,C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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第1个回答 2018-03-23
【题目】
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(−4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动,过点D作x轴的垂线,交△ABC的另一边于点E,将△ADE沿DE折叠,使点A落在点F处,设点D的运动时间为t秒。 (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)是否存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; (3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式。  【解析】 (1)把A(-4,0),B(1,0),点C(0,2)即可得到结论; (2)由题意得AD=2t,DF=AD=2t,OF=4-4t,由于直线AC的解析式为:y= 1 2 x+2,得到E(2t-4,t),①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,根据相似三角形的性质得到结论;②当∠FEC=90°,根据等腰直角三角形的性质得到结论;③当∠ACF=90°,根据勾股定理得到结论; (3)求得直线BC的解析式为:y=-2x+2,当D在y轴的左侧时,当D在y轴的右侧时,如图2,根据梯形的面积公式即可得到结论. 【解答】 (1)把A(-4,0),B(1,0),点C(0,2)代入y=ax2+bx+c得, 16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2 , ∴ a=- 1 2 b=- 3 2 c=2 , ∴抛物线的解析式为:y=- 1 2 x2- 3 2 bx+2, 对称轴为:直线x=- 3 2 ; (2)存在, ∵AD=2t, ∴DF=AD=2t, ∴OF=4-4t, ∴D(2t-4,0), ∵直线AC的解析式为:y= 1 2 x+2, ∴E(2t-4,t), ∵△EFC为直角三角形, ①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC, ∴ DE OF = DF OC ,即 t 4-4t = 2t 2 , 解得:t= 3 4 , ②当∠FEC=90°, ∴∠AEF=90°, ∴△AEF是等腰直角三角形, ∴DE= 1 2 AF,即t=2t, ∴t=0,(舍去), ③当∠ACF=90°, 则AC2+CF2=AF2,即(42+22)+[22+(4t-4)2]=(4t)2, 解得:t= 5 4 , ∴存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形,此时,t= 3 4 或 5 4 ; (3)∵B(1,0),C(0,2), ∴直线BC的解析式为:y=-2x+2, 当D在y轴的左侧时,S= 1 2 (DE+OC)•OD= 1 2 (t+2)•(4-2t)=-t2+4 (0<t<2), 当D在y轴的右侧时,如图2, ∵OD=4t-4,DE=-8t+10, S= 1 2 (DE+OC)•OD= 1 2 (-8t+10+2)•(4t-4)=-16t2+40t-24 (2<t< 5 2 ).
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