如何证明一个函数处处可导，最好有例题展示

Question

如题所述

Answer 1

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。
如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
f(x)=1+xg(x),而lim
x->0
g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim
x->0
f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2)
lim
x->0
[f(x)-f(0)]/x=
lim
x->0
g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。
接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim
Δx->0
[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim
Δx->0
f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x)
lim
Δx->0
[f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)
扩展资料：
实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。
从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
参考资料来源：搜狗百科——可导函数

Answer 2

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。
如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
2.
f(x)=1+xg(x),而lim
x->0
g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim
x->0
f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2)
lim
x->0
[f(x)-f(0)]/x=
lim
x->0
g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。
接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim
Δx->0
[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim
Δx->0
f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x)
lim
Δx->0
[f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)