函数与原函数的奇偶性

如题所述

第1个回答 2017-11-11

(1)
f(x) 是奇函数
F(x) = ∫(0->x) f(t) dt
F(-x) = ∫(0->-x) f(t) dt
let
u=-t
du =-dt
t=0, u=0
t=-x, u=x
F(-x)
= ∫(0->-x) f(t) dt
= ∫(0->x) f(-u) (-du)
=∫(0->x) f(u) du
=F(x)
=> F(x) 是偶函数
G(-x)
=∫(a->-x) f(t) dt
=∫(0->-x) f(t) dt - ∫(0->a) f(t) dt
=∫(0->x) f(t) dt - ∫(0->a) f(t) dt
= ∫(a->x) f(t) dt
=G(x)
=> G(x) 是偶函数
(2)
f(x) 是偶函数
F(x) = ∫(0->x) f(t) dt
let
u=-t
du=-dt
t=0, u=0
t=-x, u=x
F(-x)
= ∫(0->-x) f(t) dt
= ∫(0->x) f(-u) (-du)
=-∫(0->x) f(u) du
=-F(x)
=>F(x) 是奇函数
G(x) = ∫(a->x) f(t) dt
=∫(0->x) f(t) dt -∫(0->a) f(t) dt
G(-x)
=∫(0->-x) f(t) dt -∫(0->a) f(t) dt
=∫(0->x) f(t) dt -∫(0->a) f(t) dt
=∫(a->x) f(t) dt
=G(x)
=> G(x) 是偶函数本回答被网友采纳

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