设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明：A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及（A+2E）的逆矩阵 ，怎么求？？？

Question

如题所述

Answer 1

A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E，所以A(A-E)=2E，从而A的逆矩阵为1/2(A-E).

A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E，所以(A+2E)(A-3E)=-4E，从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).

可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。

扩展资料

性质定理

1.可逆矩阵一定是方阵。

2.如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5.若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

你好！可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

追问

A+2E的逆矩阵，还有一种求解方法吧！你会求吗

追答

不知道，我只想到上面的做法。

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Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

母题

Answer 4

A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E，所以A(A-E)=2E，从而A的逆矩阵为1/2(A-E).

A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E，所以(A+2E)(A-3E)=-4E，从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).

Answer 5

又是这种万年不变的考题。
①由A^2-A-2E=0进行因式分解
A（A-1）=2E，因此
A逆矩阵为1/2（A-1）
A-1逆矩阵为1/2A
②求A+2E的逆矩阵，关键在于
如何把A^2-A-2E=0写成
（A+2E）（kA+bE）=E的形式
A^2-A-6E=-4E可以将6拆成2和-3，
得出k=-1/4，b=3/4

③关键在于因式分解，说的好听点，就是十字相乘法。
如AB=A+B，可写成
（A-E）（B-E）=E
如AB=A+2B，可写成
（A-2E）（B-E）=2E
如AB=A+3B，可写成
（A-3E）（B-E）=3E