线性代数关于化二次型为规范型，数学复习全书上解答有疑问

Question

全书上解答是 按正交化变换化为标准型做的，可是得到特征向量后却没有单位化，这是为什么？请指教，还是全书有错误呢 （三计算题与证明题的第二题）具体见图片

Answer 1

这个地方我也看到过了，你可以验证一下P1转置AP1

看看算出来的是4y2^2+9y3^2的二次型矩阵吗？

我验证的结果是4y2^2+(27/2)y3^2的二次型矩阵

所以答案是错误的，应该将P1单位化后再进行坐标变换

看附图

经过x=P1y  得不出后面的标准型4y2^2+9y3^2     故所给答案是错误的。

希望对你有帮助。还望采纳 谢谢

Answer 2

书上的解答是正确的。

题意要求的是规范型。

仅用由特征向量构成的矩阵也可将二次型化为标准型

由于还要将标准型进一步化为规范型，单位化工作就成为多余的工作。

追问

但是 书上没有说特征向量构成的矩阵可以化二次型为标准型啊。定理说的是正交矩阵才可以。这个是什么原因。求解释。并且如果按楼上验证的话，好像的确是错的哦

追答

xiaohang198762 讲的是正确的。书上答案错了。我回答时的判断不对。

追问

谢谢你了

Answer 3

题目只是让你求出化成规范形的线性变换，只要这个线性变换可逆即可，不用强求是正交变换。所以用配方法做题也行，而且配方法比书上的做法简单。追问

如果只是可逆变换，那么能化成标准型吗

追答

标准形是不唯一的，标准形中的平方项的系数未必是特征值，只是在符号上与特征值一致。如果题目没有点明用正交变换来化二次型为标准形，也可以用配方法。你可以看看书上的例题与习题，看看题目要求、解题过程的变化。