等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,公差为d,若S2,S3-S1,S5-S3成等比数列

Question

数列{bn}满足bn=1/(an*an+1),Tn为{bn}的前n项和，(1)求an,Tn
(2)n属于N*,kTn<n+[(-1)^n]*8恒成立，求k的范围

Answer 1

(1)
an=1+(n-1)d
S2=a1+a2=2+d
S3-S1=a2+a3=2+3d
S5-S3=a4+a5=2+7d
(2+3d)^2=(2+d)(2+7d)
d=0 or 2
d=2时
bn=1/an*an+1=(1/an-1/an+1)/(an+1-an)=(1/an-1/an+1)/d
an=2n-1
b1=(1/a1-1/a2)/2
b2=(1/a2-1/a3)/2
...
bn=(1/an-1/an+1)/2
b1+b2+..bn=(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/an-1/an+1)/2
Tn=(1/a1-1/an+1)/2=(1-1/2n+1)/2=n/(2n+1)
d=0时
an=1
bn=1
Tn=n
(2)kTn=nk/(2n+1)<n+[(-1)^n]*8
d=2时
若n为偶数，nk/(2n+1)<n+8,k<(2n+1)(n+8)/n=2n+17+8/n,
2n+8/n+17>=2根号(2n*8/n)+17=25,(2n=8/n，即n=2时取最小值25，符合n为偶数的条件）
要不等式恒成立，则k<25
若n为奇数，nk/(2n+1)<n-8,k<2n-15-8/n
n属于N时，2n-8/n为增函数，所以当n=1时最小值为-6
即2n-15-8/n>=-21
要不等是恒成立，则k<-21
d=0时
nk<n+[(-1)^n]*8
n为偶数时，k<(n+8)/n=1+8/n,因为8/n是减函数，且8/n>0
所以要不等式恒成立k<=1
n为奇数时，k<1-8/n,因为8/n最大值为8，所以1-8/n最小值为-7
所以k<-7
4式合并得k<-21

Answer 2

S2=2a1+d=d+2
S3-S1=a2+a3=3d+2
S5-S3=a4+a5=7d+2
∵成等比数列
∴(3d+2)^2=(d+2)(7d+2)
9d^2+12d+4=7d^2+16d+4
d(d-2)=0
d=0或2
请问题目有什么别的限制条件，否则每一问都有可能有两个解追问

无别的限制

追答

我觉得楼上0舍得不对
希望楼主能想一下
当d=0时an=1,bn=1,Tn=n
kn<n+8*(-1)^n
n为奇数时
kn<n-8
k<(n-8)/n
∵恒成立
∴k小于右式最小值
k<-7
n为偶数时
kn<n+8
k<(n+8)/n
∵恒成立
∴k小于右式最小值
k<1

d=2时，楼上答得对
n为奇数时，k<-21
n为偶数时，k<25