求扇形内接矩形面积的最大值.

Question

扇形的半径为1, 圆心角为π/4 , 求一边在半径上的扇形内接矩形面积的最大值？

Answer 1

最大值为 （√2-1）/ 2 （=0.2071 )设矩形的宽(垂直半径)为 X ,因扇形的半径为1,圆心角 π/4 ,则矩形的长 (在半径上) 为 √ (1-X^2) - X于是矩形面积 y = [√ (1-X^2) - X ] *X = √ (X^2 -X^4 ) - X ^2 --------- (1)为便于计算 ,设 Z = X^2 , 则 y =√ (Z -Z^2 ) - Z 对 y 取导数并令=0 ,即 (1-2Z) /2√ (Z -Z^2 ) -1 =0 ，1-2Z =2√ (Z -Z^2 ) ，两边平方得 8Z^2-8Z +1 =0 ，得 Z= 1/2 ±√ 2 / 4 ，以 X^2 = Z =1/2 +√ 2 / 4 代入 (1) ，得 y max = -1/2 (舍去) 以 X^2 = Z =1/2 -√ 2 / 4 代入 (1) ， 得 y max = (√ 2 -1) / 2 (=0.2071) 即当 X^2= 1/2 -√ 2 / 4 (= 0.1464) , 即 X= 0.3827 时内接矩形面积的最大值. y max = (√ 2 -1) / 2 (=0.2071)