跪求数学大神解高中函数题啊

定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1.
1、求f(x)的表达式
2、若m²-tm-1≤f(x)对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数t的取值范围

定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若m^2-tm-1≤f(x)对于任意的m属于[-1,1],x属于N*恒成立,求实数t的取值范围;
解:(1)令m=x,n=1,得到f(x+1)=f(x)+4x+3;所以:
f(2)=f(1)+4*1+3
f(3)=f(2)+4*2+3
f(4)=f(3)+4*3+3
...............
f(x)=f(x-1)+4*(x-1)+3
累加得,f(x)=f(1)+4*(1+2+3+...+(x-1))+3*(x-1)
=2x²+x-2
(2)由(1)显然知,f(x)最小值为1,所以m²-tm-1≤1对任意m∈[-1,1]恒成立
当m=0时,对t∈R不等式均成立;
当m<0时,原式等价于t≤m-2/m在m∈[-1,0)恒成立,而函数m-2/m的最小值为1(函数为单增函数),所以t≤1;
当m>0时,原式等价于t≥m-2/m在m∈(0,1]恒成立,而函数m-2/m的最大值为-1(函数为单增函数),所以t≥-1
综上可得,-1≤m<0时,t≤1
m=0时,t∈R
0<m≤1时,t≥-1
参考:http://zhidao.baidu.com/question/185637833.html
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第1个回答  2013-07-21

楼主您好!

 

    由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2  ,又f(1)=1,将n=1代入其中,

得f(m+1)=f(m)+1+4(m+1)-2  也就是f(x+1)=f(x)+4x+3

f(x)=f(x-1)+4(x-1)+3

f(x-1)=f(x-2)+4(x-2)+3

.........

f(2)=f(1)+4+3

左右两端分别相加  得f(x)=f(1)+4(1+x-1)(x-1)/2+3(x-1)

化简得 f(x)=2x平方+x-2

 

2.m²-tm-1≤f(x)对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立

而 f(x)=2x平方+x-2 在],x∈N*  最小值为1,(当 x=1时取)

 

则m²-tm-1≤1  即m²-tm-2≤0  对于任意的m∈[-1,1]恒成立

另g(x)=m²-tm-2  有 g(-1)≤0 以及 g(1)≤0  可得t范围是[-1,1]

 

希望楼主满意我的回答  哈哈哈可追问求最佳呀  真的很辛苦。。。。这么多字儿。。。。

第2个回答  2013-07-21

    ∵f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2;f(1)=1

∴f(x+1)=f(x)+f(1)+4(x+1)-2

f(x+1)-f(x)=4(x+1)-1

运用叠加法(x∈N*)

f(x)-f(x-1)=4x-1

f(x-1)-f(x-2)=4(x-1)-1

.

.

.

f(3)-f(2)=11

f(2)-f(1)=7

+)-------------

f(x)-f(1)=(7+4x-1)*(x-1)*1/2=2x^2+x-3(等差数列求和)

∴f(x)=2x^2+x-2

2.m²-tm-1≤f(x)

m²-tm-1≤2x^2+x-3

分析得,当m∈[-1,1]时,m²-tm-1≤f(x)min时,恒成立

又x∈N*

m²-tm-1≤1

m²-tm-2≤0

然后根据对称轴分类讨论就可以得出答案

第3个回答  2013-07-21
,(1)由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2
则f(n)
=f(n-1+1)
=f(n-1)+f(1)+4n-2
=f(n-1)+4n-1
=f(n-2)+4(n-1)-1+4n-1
=f(1)+4*1+4*2+……+4(n-1)+4n-(n-1)
=1+4n(n-1)/2-n+12n^2-3n+2
=2n^2-3n+2
则f(x)=2x^2-3x+2,(x∈N+)
(2)令g(m)=m^2-tm-1,则只需g(m)max<=f(x)min,
即可满足m^2-tm-1≤f(x)。
则f(x)的对称轴为x=3/4,则f(x)在x∈N+为增函数,
则f(x)min=f(1)=1
而g(m)的对称轴m=t/2,
当t<=-2时,t/2<=-1,g(m)为增函数,则g(m)max=g(1)=-t<f(x)min=1,则
t>-1,无解
当t>=2时,t/2>=1,g(m)为减函数,则g(m)max=g(-1)=t<f(x)min=1,则
t<1,无解
当0<=t<2时,g(m)max=g(-1)=t<f(x)min=1,则t<1,则0<=t<1;
当0>=t>-2时,g(m)max=g(1)=-t<f(x)min=1,则t>-1,则-1<t<=0;
所以-1<t<1
第4个回答  2013-07-21