定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1.
1、求f(x)的表达式
2、若m²-tm-1≤f(x)对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数t的取值范围
楼主您好!
由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2 ,又f(1)=1,将n=1代入其中,
得f(m+1)=f(m)+1+4(m+1)-2 也就是f(x+1)=f(x)+4x+3
f(x)=f(x-1)+4(x-1)+3
f(x-1)=f(x-2)+4(x-2)+3
.........
f(2)=f(1)+4+3
左右两端分别相加 得f(x)=f(1)+4(1+x-1)(x-1)/2+3(x-1)
化简得 f(x)=2x平方+x-2
2.m²-tm-1≤f(x)对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立
而 f(x)=2x平方+x-2 在],x∈N* 最小值为1,(当 x=1时取)
则m²-tm-1≤1 即m²-tm-2≤0 对于任意的m∈[-1,1]恒成立
另g(x)=m²-tm-2 有 g(-1)≤0 以及 g(1)≤0 可得t范围是[-1,1]
希望楼主满意我的回答 哈哈哈可追问求最佳呀 真的很辛苦。。。。这么多字儿。。。。
∵f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2;f(1)=1
∴f(x+1)=f(x)+f(1)+4(x+1)-2
f(x+1)-f(x)=4(x+1)-1
运用叠加法(x∈N*)
f(x)-f(x-1)=4x-1
f(x-1)-f(x-2)=4(x-1)-1
.
.
.
f(3)-f(2)=11
f(2)-f(1)=7
+)-------------
f(x)-f(1)=(7+4x-1)*(x-1)*1/2=2x^2+x-3(等差数列求和)
∴f(x)=2x^2+x-2
2.m²-tm-1≤f(x)
m²-tm-1≤2x^2+x-3
分析得,当m∈[-1,1]时,m²-tm-1≤f(x)min时,恒成立
又x∈N*
m²-tm-1≤1
m²-tm-2≤0
然后根据对称轴分类讨论就可以得出答案