如图在三棱柱abc所有棱长均为2侧棱aa1⊥底面abc

Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱 ABC - A B C 中，侧面 A ACC ⊥底面 ABC ，∠ A AC =60°. (Ⅰ)求侧棱 AA 与平面 AB C 所成角的正弦值的大小； (Ⅱ)已知点 D 满足 ，在直线 AA 上是否存在点 P ，使 DP ∥平面 AB C ？若存在，请确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由.      

Answer 1

(Ⅰ)∵侧面 A 1 ACC 1 ⊥底面ABC，作 A 1 O ⊥ AC 于点 O ， ∴ A 1 O ⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等， ∴AO=1，OA 1 =OB= ，BO⊥AC. 故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz 则 A(0，-1，0)，B( ，0，0)， A 1 (0，0， )， C (0，1，0)， ； ∴ .设平面AB 1 C的法向量为 n =( x y 1) 则     解得 n =(-1 0 1). 由cos< >= 而侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角，即是向量 与平面 AB 1 C 的法向量所成锐角的余角， ∴侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角的正弦值的大小为 (Ⅱ)∵ 而   ∴ 又∵B( ，0，0)，∴点D的坐标为D(- ，0，0).假设存在点P符合题意， 则点P的坐标可设为P(0，y，z).   ∴ ∵ DP ∥平面AB 1 C， n =(-1，0，1)为平面AB 1 C的法向量， ∴由 ，得 又 DP 平面 AB 1 C ，故存在点 P ，使 DP ∥平面 AB 1 C ，其从标为(0，0， )，即恰好为 A 1 点