数学几何证明：直角三角形的重心在直角边上的投影点到直角顶点的长度为直角边长度的三分之一

Question

如题所述

Answer 1

如图命名个点，并连接DE；

由于p是△ABC的重心，所以D和E分别是AC、BC的中点，所以DE平行且相等于(1/2)AB ；

△DPE∽△BPA,相似比为1:2（因为DE=1/2AB）==>EP/PA=1/2   ①

△EPG~△EAB，又因为①，所以EG/GB =1/2  ==>BG=2/3BE=1/3BC(E是BC中点，BE=1/2BC)；

其他边上同理可证；

所以“直角三角形的重心在直角边上的投影点到直角顶点的长度为直角边长度的三分之一”得证。

 

（两个三角形的相似的出没有具体去写，但是很简单，相信你能很容易得出，简单的做了下这道题，希望能帮到你）

Answer 2

字母标注如图所示

已知：点P是直角△ABC的重心 ， M，N是点P在AB,BC上的投影，

求证：BM/BA=1/3   BN/BC=1/3

证明：连接CP并延长交AB与点D,连接DF,EF

∵点P是直角△ABC的重心

∴点D,E,F是中点  AB⊥BC

∴AD/AB=1/2    AF/AC=1/2     CE/CB=1/2 

∴DF∥BC   EFAB

∴DF/BC=1/2  EF/AB=1/2     ∠PDF=∠PCB   ∠PFD=∠PBC 

∵∠DPF=∠BPC

∴△DPF ∽ △CPB

∴DP/CP=DF/BC=1/2

∴DP/DC=1/3

∵ M，N是点P在AB,BC上的投影

∴PM ⊥AB    PN⊥ BC 

∵ AB⊥BC

∴PM∥BC      四边形PMBN是矩形

∴PM/BC=DP/DC    PM=BN 

∴BN/BC=DP/DC=1/3

即 BN/BC=1/3

同理可得  BM/BA=1/3 

 

（注意：如果已经熟练掌握比例线段的各种性质，那么相似三角形的证明可以省略）

Answer 3

证明：从最小锐角A做左侧边中线，交左侧边于D，形成新直角三角形ADC，角C为直角，P到底边投影点交底边于E，形成直角三角形APE
因为BC平行于PE
所以三角形ADC相似于三角形APE （三个角对应相等）
所以对应边成比例，即AP：PD=AE：EC
根据重心性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即AP：PD=2：1
所以AE：EC=2：1 即 AC=AE+EC=3EC

Answer 4

已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD是中线，P是重心。PE⊥BC于E。
求证：PE=1/3AC
证明：∵P是重心 AD是中线
∴PD=1/3AD
∵∠ACB=∠PED=90° ∠ADC=∠PDE
∴△ACD∽△PED
∴AC/PE=AD/PD
故PE=1/3AC

Answer 5

因为三角形的重心有这样的性质：重心到各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。
然后通过三角形相似很容易证明命题成立。