运用点差法，求弦中点的轨迹方程。

Question

已知抛物线y^2=6x，求过点P（0，1）的直线被抛物线所截得弦的中点的轨迹方程。

Answer 1

设两交点为: A(a²/6, a), B(b²/6, b), 

AB的方程: (y - b)/(a - b) = (x - b²/6)/(a²/6 - b²/6)

y - b = (6x - b²)/(a + b)

P(0,1)在AB上: 1 - b = -b²/(a + b)

a + b = ab                                   (i)

设中点M(x, y):

x= (a² + b²)/12,  a² + b² = 12x    (ii)

y = (a+ b)/2, a + b = 2y   (iii)

(ii)可以变为: 12x = a² + b² = (a + b)² - 2ab = (a + b)² - 2(a + b)     (利用(i))

= (2y)² - 2*2y

= 4y² - 4y

y² - y = 3x

(y - 1/2)² = 3(x + 1/12)

也是抛物线, 它是y² = 3x向上平移1/2, 向左平移1/12得到的;

y² - y = 3x与y² = 6x交于O和A(2/3, 2), 在0 < y < 2时, y² - y = 3x的图象在y² = 6x的图象之外，应当排除。

答案: 轨迹方是y² - y = 3x, y < 0或y > 2