为什么函数在某点可导性必须用定义证明？

Question

比如一个点两侧有不同定义式的函数，要证明它在分段点的可导性能否直接用左右极限趋近于分段点时相等来证明。

Answer 1

不能。“左右极限趋近于分段点时相等” 只能说明此函数在这个点连续，但是连续不一定可导。
反例：y=|x| 在 x=0 处，左极限等于右极限等于零，但是这个函数在 x=0 处并不可导。
但是，如果能证明左右导数存在且相等，那么的确是可以说明它在这个点可导。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/689278.htm

Answer 2

分情况而定，比如说考试时时间比较紧张。可以用这种方法（适用于填空和选择题），但是作业中不允许，是因为左右函数有可能在该点不可导。。。我也两年没看过这种题了。。。

Answer 3

不能