如何用微积分推导出圆锥的侧面积公式s=πrl？

Question

设圆锥由y=kx，x∈[0，h]绕x轴旋转而成。
我是将圆锥分割成无数个小圆柱，面积元素dS=2πkxdx，然后求积分算出来的是πrh，和公式πrl不一样。
看到网上一篇文章说应该取ds=2πkx √(1+k^2) dx ，我不理解这个式子表达的几何意义是什么，我把原文章地址贴上来（圆锥那道题目在网页最后）。
http://cai.wit.edu.cn/jpcourseware/pri/gdsx/%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%96%87%E4%BB%B6/%E6%95%99%E8%BE%85%E6%96%B9%E6%B3%95/wyf%20.htm

ds=2πkx √(1+k^2) dx 是怎么取的？

Answer 1

这因该是取的微分量的问题， 我看完之后也有感触，我的想法是：对于其体积来说，你用圆柱去代替了一个椎体住，这个微分量来说应该是可以的，至少多出来的部分是对dx的一个高阶小量，在证明的式子里也可以看出来，这样说可能就涉及到公式问题了，我们感性点的说：假设在二维平面上吧，对一段曲线求积分时，求其和x轴围成的面积时，你完全可以由高度为这段曲线高度的平均值代替，但同样长度下，你做线积分时，你就要算上你投影的比例了，即√(1+k^2) 。
额，可能说的有点绕：其实这个做法算是一个技巧了，这个完全可以用曲面积分做就好了，把这个全面投影到二维坐标，这个时候也会出现√(1+k^2) 这个量，这个量就是投影的比例大小。对于三维积分求二维量时都会涉及到投影。我也只是稍微有点认识。但深入的可能还真不好解释。感性理解下就好！～～ 你给的资料其实也写的非常清楚了。即在高阶坐标下求低重积分，都是要投影的。

Answer 2

按说你做的不错，将圆锥分割成无数个小圆柱,小圆柱的侧面积即是面积元素，半径kx ,周长2πkx即是矩形侧面积的长，因为用dx作宽不精确，实际比所求面积都少了。这时把宽看作母线上对应的那一小段（即根号[dx^2+(kdx)^2]）,也就是√(1+k^2) dx ，面积元素dS=2πkx√(1+k^2) dx ，在[0,h]上 积分，得正确结论。用√(1+k^2) dx作宽近似更好。追问

“因为用dx作宽不精确”这是怎么分析出来的？“这时把宽看作母线上对应的那一小段”为什么要这样？是凑出来的吗？

追答

按说划分的小区间分外小，近似也是可以的，但√(1+k^2) dx 与 dx作宽，确实少了【1-√(1+k^2) 】dx这么多

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