线性代数 证明题

Question

矩阵A 是 mxn，矩阵B 是nxp.证明rank（AB）<min{rank(A), rank(B)}

Answer 1

注意到矩阵的秩等于矩阵的行秩等于矩阵的列秩.
将AB按列分块AB=(C1,C2,...,Cp)
将矩阵A按列分块A=(A1,A2,...An), 设B=(bij)nxp,则有
(C1,C2,...,Cp)=AB=(A1,A2,...An)(bij)nxp
=(b11A1+b21A2+...+bn1An, b12A1+b22A2+...+bn2An,...,b1pA1+b2pA2+...+bnpAn),
这说明AB的列向量组可由A的列向量组线性表示, 于是r(AB)<=r(A).
将AB转置后进行相同的讨论,可得r(AB)<=r(B).
于是rank（AB）<min{rank(A), rank(B)}追问

请问 什么叫做“AB的列向量组可由A的列向量组线性表示”呀

谢谢

追答

就是Ci(i=1,2,..,p)可表示为A1,A2,...,An的线性组合.

追问

另外 怎么能看出rAB还有可能小于rA呢？

谢谢

追答

若向量组1 可由向量组2线性表示, 则向量组1的秩一定小于向量组2的秩,这是线性代数中的定理.
好好看看书就明白了.

追问

我们书上没这个定理 我找了 5555555555555

追答

在极大线性无关组那一部分,肯定有的