线性代数中R(A)与R(A*)与R(A-1)之间的关系

Question

如题所述

Answer 1

r(A)=n时 r(A*)=n

r(A)=n-1时 r(A*)=1

r(A)<n-1时 r(A*)=0

r(A)=r(A-1)

证明：设A为n阶

（1）r(A)与r(A*)的关系

若r（A）=n，则丨A丨不等于0，A*=丨A丨A-1可逆，推出r（A*）=n。

若r（A）=n-2，则丨A丨等于0且所以n-1阶子式全为0，因此A*=0，即r（A*）=0

若r（A）=n-1，则丨A丨等于0且存在n-1阶子式不为0，因此A*不等于0，r（A*）大于等于1

又因为 AA*=丨A丨E=0，r（A）+r（A*）小于等于n，r（A*）小于等于n-r（A）=1

就可以得到r（A*）=1

（2）r（A）=r（A-1）=n，因为丨A丨和丨A-1丨都不等于0

扩展资料：

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。

线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的。

参考资料来源：百度百科——线性代数

Answer 2

我记得有一点
r(A)=n时 r(A*)=n
r(A)=n-1时 r(A*)=1
r(A)<n-1时 r(A*)=0
r(A)与r(A-1)的关系忘记了呀
想起来了 A-1存在的话 |A|不等于0 r(A)=n =r(A-1)
ls是错的

Answer 3

R(A)=R(A*)=R(A逆)追问

能不能告诉我，推倒过程。谢谢

追答

求秩的过程就是化为阶梯型 所以A与A*都是一样的
既然它的逆矩阵存在 那么它就是线性无关的 逆矩阵的秩跟它一样

Answer 4

r(A)=n时 r(A*)=n
r(A)=n-1时 r(A*)=1
r(A)<n-1时 r(A*)=0
r(A)=r(A-1)
证明：设A为n阶
（1）r(A)与r(A*)的关系
若r（A）=n，则丨A丨不等于0，A*=丨A丨A-1可逆，推出r（A*）=n。
若r（A）=n-2，则丨A丨等于0且所以n-1阶子式全为0，因此A*=0，即r（A*）=0
若r（A）=n-1，则丨A丨等于0且存在n-1阶子式不为0，因此A*不等于0，r（A*）大于等于1，
又因为 AA*=丨A丨E=0，r（A）+r（A*）小于等于n，r（A*）小于等于n-r（A）=1，
就可以得到r（A*）=1‘’
（2）r（A）=r（A-1）=n，因为丨A丨和丨A-1丨都不等于0本回答被提问者采纳