只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高 次数是2(二次)的
整式方程叫做
一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程有5种解法,即 直接开平方法、 配方法、 公式法、
因式分解法。
十字相乘法配方法:首先将二次项系数a化为1,然后把常数项移到等号的右边,最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方,左边配成 完全平方式,再 开方就得解了。
公式法可以解任何一元二次方程。
因式分解法,必须要把所有的项移到等号左边,并且等号左边能够
分解因式,使等号右边化为0。
除此之外,还有图像解法和计算机法。
图像解法利用
二次函数和根域问题粗略求解。 [1]
公元前2000年左右,
古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的:已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数,求出这个数。他们使x1+x2=b,x1x2=1,x2-bx+1=0,再做出解答。可见,古巴比伦人已知道一元二次方程的解法,但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。
古埃及的 纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax2=b。
大约公元前480年,中国人已经使用 配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题,是通过求相当于
的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了 内插法。
公元前300年左右,
古希腊的
欧几里得(Euclid)(约前330年~前275年)提出了用一种更 抽象的 几何方法求解二次方程。
古希腊的 丢番图(Diophantus)(246~330)在解一元二次方程的过程中,却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。
公元628年,印度的 婆罗摩笈多(Brahmagupta)(约598~约660)出版了《婆罗摩修正体系》,得到了一元二次方程
的一个求根公式。
公元820年,
阿拉伯的 阿尔·花剌子模(al-Khwārizmi) (780~810)出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法,除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出了一元二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”,后被译成 拉丁文radix。其中涉及到六种不同的形式,令a、b、c为正数,如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。
法国的 韦达(1540~1603)除推出一元方程在复数范围内恒有解外,还给出了根与系数的关系。 [2]
2满足条件
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先化简,后判断。
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是 整式方程,即等号两边都是 整式,方程中如果有 分母;且 未知数在分母上,那么这个方程就是 分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也 不是一元二次方程(是无理方程),这点请注意!
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。
3方程形式
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一元二次方程的一般形式是
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²是二次项,a是二次项系数;b是 一次项系数;bx是一次项;c是 常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 根。[3]
变形式
(a、b是 实数,a≠0);
(a、c是实数,a≠0);
(a是实数,a≠0).
注:a≠0这个条件十分重要.
配方式
两根式
4求解方法
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直接开平方法
形如
或
(
)的一元二次方程可采用直接 开平方法解一元二次方程。
如果方程化成
的形式,那么可得
。
如果方程能化成
的形式,那么
,进而得出方程的根。
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②
降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个 一元一次方程。
③方法是根据
平方根的意义开平方。 [4]
配方法
步骤
将一元二次方程配成
的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫 配方法。
用 配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解,如果右边是 非负数,则方程有两个实根;如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是
完全平方公式配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例
例一:用配方法解方程
解:将常数项移到方程右边
将 二次项系数化为1:
方程两边都加上一次项系数一半的平方:
配方:
直接开平方得:
∴
,
.
∴原方程的解为
,
. [5]
求根公式法
步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根 公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式
,确定a,b,c的值(注意符号);
②求出 判别式
的值,判断根的情况;
③在
(注:此处△读“德尔塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式
进行计算,求出方程的根。
推导过程
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
(为了配方,两边各加
)
(化简得)。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、 实数、 复数或是任意 数域中适用。
一元二次方程中的判别式:根号下b²-4ac
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中,有些数值没有 平方根。
推导过程2
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
a的取值范围任意,c取值范围任意,b=(a+1)√c。从a b c 的取值来看可出1亿道方程以上,与因式分解相符合。一元二次方程
运用韦达定律验证:
因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过 因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的问题(数学 化归思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;
②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积;
③令每个因式分别为零
④括号中x,它们的解就都是原方程的解。
例:
,或者
∴
,
. [6]
图像解法
一元二次方程
的根的几何意义是 二次函数
的图像(为一条
抛物线)与 x轴交点的X坐标。当
时,则该函数与x轴 一元二次方程(3)相交(有两个交点);当
时,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点);当
时则该函数与x轴相离(没有交点)。另外一种解法是把一元二次方程
化为:
的形式。
则方程的根,就是函数
和
交点的X坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法
在使用计算机解一元二次方程时,和人手工计算类似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序,比如软件 Mathematica,可以给出根的解析表达式,而大部分程序则只会给出数值解(但亦有部分显示平方根及
虚数)。
5方程解
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含义
(1)一元二次方程的 解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。
(2)由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算),根的情况由判别式(
)决定。
判别式
利用一元二次方程根的 判别式(
)可以判断方程的根的情况。
一元二次方程
的根与根的 判别式 有如下关系:
①当
时,方程有两个不相等的实数根;
②当
时,方程有两个相等的 实数根;
③当
时,方程无实数根,但有2个 共轭复根。
上述结论反过来也成立。
韦达定理
设一元二次方程
中,两根x₁、x₂有如下关系:
数学推导
由一元二次方程求根公式知
则有:
6词条图册
1/1
一元二次方程(3)
参考资料:
1.
一元二次方程
2.
历史上的一元二次方程
3.
一元二次方程的一般形式
4.
直接开平方法
5.
配方法
6.
因式分解法