原命题:如果两个角都是直角,那么它们相等
否命题:如果两个角不都是直角,那么它们不相等
逆命题:如果两个角相等,那么它们都是是直角
逆否命题:如果两个角不相等,那么它们不都是是直角
公理:
没有公理化就没有数学体系，公理化是数学理论基础的来源。数学里的公理是人为任意性的，公理只不过是导出结论的逻辑演绎基础而已，是存在有适用范围与前提条件的。所谓的公理化只不过是属于一种前置预设的约定规定的定义，然后再因此而进行演绎推导等后续性活动。
数学公理化并不等于普遍化，公理化只是属于个别案例情况，受到前提条件的制约。我们所有的知识几乎都是相对某一范围，不具有完全普遍的意义，所以公设公理也只能在一定条件下才具有真实可靠的意义。我们暂时先不讨论数学，先讨论数学的前提即存在着的事实，因为误解就发生在前提的事实上。
原理是从公理推导出来的，数学是在前提公理化规定后演绎的。可以在没有理中进行人为性制造理，通过假设假定来进行制造公理，然后通过公理来推导出来原理，然后再由原理而推导出来定理。所有的理都是通过人为性规定各种而推导出来的，而不是真实自然之理。
论证来源于直观事实，将未经证明证实或解释的事实作为假设假定来进行推理论证。在技术上只要是有效都是可行的，可是在认识上却无法行得通。公理也是通过人为性规定的，它并不能够成为检验数学正确与否的标准。于是不得不重新规定制造一个选择性公理来限制原来的公理。
公理化是表达我们意思的一种方法，可以起到没有矛盾的作用，但是本质上的和谐来自我们的直觉想象。形式上的推理在某些方面可以表达很多内容，如希尔伯特所说，点线面的概念可以代表许多事物，同样的表达同一个事物我们可以采用不同的形式。而公理化所表达的只不过是其中一种意思。将逻辑法则认定为真理体系，是对真理的阉割歪曲。数学是人为性规定的一个体系，并不是一个真理体系，所谓的真理只是表现了数学家们的良好愿望而已。数学的生命力的实质并不在于公理化，而在于实际应用上的需要，这才是数学生命力和价值的真正所在。正是数学具有这样的实用功效，并以此为动力推动了数学的发展，并且超越了实际直接应用上的界限。
用数学方法可以推得其它定理，却无法得到公理，这公理不是数学自身的产物，而是数学存在着必不可少的前提，没有公理数学体系就建立不起来。有些情况是这样有些情况又是那样的，我们现在常取舍符合我们人为性要求的，而不顾其它事实，但是对于另些则是无效，这是存在一定的有效性。超越了前提范围，问题就自然会暴露出来，这时我们还得再重新考虑范围以外的问题，当另些问题已解决时这时又出现了悖论问题，于是人们陷入了认识的怪圈之中无法自拔。
我们不应该害怕和反对消除悖论，悖论是一件好事，对我们有所启迪帮助，很容易发现问题的。数学悖论并不是一种危机，而带给人们的却是一种更加完整全面的清醒认识。应该准确地说逻辑只是某种局限的在适用范围内有效，否则产生悖论是很正常必然的。
理发师的故事，前后的前提是不一样的，如果混在一起则为悖论。不只是具有双值逻辑而是具有多值逻辑。它适用的前提基础，适用范围即前提限制，即优先确定在某一区域范围，这是由数学本身的特点所决定的，因为它本身就不是包罗万象全面适用的。即前提是存在即有效只在一定的前提条件下才是有效的。
数学只是在有限的条件范围内有效，这才是数学适用的前提条件。集合悖论产生于前提条件的公理系统，独立性与兼容性和一致性与完全性的同时采用，公理系统与形式系统的逻辑演绎方法无法解决这个问题。
蝴蝶定理是平面几何的古典结果。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与B牟垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得：
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AB、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型
其解法如下
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了
数学：
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