数学一《线性代数》一个题目求解

Question

《2013版复习全书》414页，例3.36（II）设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有：（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关（B）.....列.........................，.....列.........................（C）.....行.........................，.....行........................（D）.....行.........................，.....列........................书上的解析是：r（A）+r（B）<=n，r（A）>=1,r（B）>=1,所以必有：r（A）< n 且 r（B）<n到这里全懂，但是下面不懂了他说秩r（A）=A的列秩<n ， r（B）=B的行秩<n 。。。故选（A）【为啥A的秩等于列秩，B的秩等于行秩？？？如果A的秩等于行秩，B的秩等于列秩怎样？就是为什么D错】

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

因为这里的n代表的是A的列数，B的行数。无从讨论A的秩与行数，B的秩与列数的关系。（A）肯定成立，其余结论可能成立。比如A,B都是方阵，则（ABCD）都成立。A,B不是方阵时，（BCD）不一定成立。