请教奥数题 最小公倍数

Question

188 甲、乙两数的比是5∶3，它们的最大公因数与最小公倍数的和是240，求甲、乙两数。

189 两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。

190 a、b两数的最大公因数是19，最小公倍数是266。求证：这两个数的和或者能被9整除，或者能被15整除。

191 两个不同自然数的和是60，它们的最大公因数与最小公倍数的和也是60，满足条件的自然数共有多少组？

Answer 1

188解：因为甲乙两数的比是5:3，则它们的商是5和3，由（甲、乙）+【甲、乙】=240，（甲、乙）x{1+5x3}=240, (甲、乙)=240÷16=15， 所以甲=15x5=75,乙=15x3=45。
189解：由条件可知(A，B)=18；[A，B]=180 ； A-B=54 则（A、B）x{商a-商b}=54， 商a-商b=3；[A,B]=（A,B）X商ax商b=180,商ax商b=10=1x10=2x5,所以商a=5,商b=2,它们的和是18x(5+2)=126。
190解：由（a,b）=19;[a,b]=(a,b)x商ax商b=266,则商ax商b=266÷19=14=1x14=2x7,它们的和是（a,b）x{商a+商b}=（a,b）x{1+14}=（a,b）x15能被15整除，或（a,b）x{2+7}=(a,b)x9能被9整除。
191解：设这两个数是甲、乙，则甲+乙=60，（甲，乙）+【甲，乙】=60
（甲，乙）x（甲商+乙商）=60， （甲，乙）+（甲，乙）x甲商x乙商=（甲，乙）x{1+甲商x乙商}=60，当
（甲，乙）=1时，甲商=59，乙商=1，甲=59，乙=1
（甲，乙）=2时，甲商=29，乙商=1，甲=58，乙=2
（甲，乙）=3时，甲商=19，乙商=1，甲=57，乙=3
（甲，乙）=4时，甲商=14，乙商=1，甲=56，乙=4
（甲，乙）=5时，甲商=11，乙商=1，甲=55，乙=5
（甲，乙）=6时，甲商=9，乙商=1，甲=54，乙=6
（甲，乙）= 10时，甲商=5，乙商=1，甲=50，乙=10
（甲，乙）=12时，甲商=4，乙商=1，甲=48，乙=12
（甲，乙）=15时，甲商=3，乙商=1，甲=45，乙=15
（甲，乙）=20时，甲商=2，乙商=1，甲=40，乙=20
当（甲，乙）=30时，甲乙两数相同不符合，符合条件共有10组。
请理解其中的关系。

Answer 2

188、设甲数为5m乙数为3m，则最大公约数为m，最小公倍数为15m，由m+15m=240得m=15，
从而甲数为45乙数为75。
189、这两个数的积等于18×180=3240，设大数为x，小数为y，由x-y=54，xy=3240以及恒等式
(x+y)²=(x-y)²+4xy得(x+y)²=54²+4×3240=15876，那么两数之和为126。
190、因为两数的最大公约数为19，可设该两数分别为19a及19b，其中a与b互质，最小公倍数
19ab=266，所以ab=14=1×14=2×7，两数之和是19a+19b=19(a+b)，
①、若a=2，b=7，则19(a+b)能被9整除；
②、若a=1，b=14，则19(a+b)能被15整除。
191、不妨设这两数分别为am和bm，a与b互质，它们的最大公约数为m，最小公倍数为abm，
由am+bm=m+abm=60得a+b=ab+1，或(a-1)(b-1)=0，可只考虑a=1的情况，am=m.。
由m+bm=60，m＜30，m是60的约数，列出满足条件的数组是 1和59、2和58、3和57、
4和56、5和55、6和54、10和50、12和48、15和45、20和40共10组。

Answer 3

188、设两数为a，b；最小公倍数为m，最大公因数为n，则：
ab/n =m
m/n= 3×5====> m=15n
m+n = 240
3a=5b
m+n = 15n+n = 240 ∴ n = 15
m= 15×15 = 225
ab = 225*15 =3375
3ab = 10125 = 5b^2
b^2 = 2025
b = 45
a = 75
答：甲数位 75， 乙数为 45 。

189、设两数为a，b；则：
ab/18 =180
a-b = 54
（54+b）b = 3240
b^2+54b-3240=0
b=36
a=90
答：这两个数的和为126
190题和191题，我不会了！！

Answer 4

189 两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。
两个数设为x，y(设 x>y)
xy÷18=180，x-y=54
(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=54^2+4×180×18
开根号=±126 ，负的舍不舍你自己看。