高中数学导数部分

Question

1.
某物体做直线运动，其运动规律是s=t²+2/t，则它在2秒末的瞬时速度为？
2.
抛物线y=x²过点（5/2，6）的切线方程是？
3.
有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数f（x），如果f’（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f’（0）=0，所以x=0是函数f(x)=x³的极值点，以上推理中
A。大前提错误 B。小前提错误 C。推理形式错误 D。结论正确
要求过程！！！！！
三题都要过程！

Answer 1

1 求导v=s'=2t-2/t²，
T=2 ,
v=2×2－2／2²=4－1／2=7／2
2解：设切点坐标为（x0，x0²）
y'|x=x0=2x0，故切线方程为y-x0²=2x0（x-x0）
∵抛物线y=x²过点P（5／2，2）
∴2-x0²=2x0（5／2-x0）
x0=2或3
故切点坐标为（2，4）或（3，9）
而切线又过点P（5／2，2）
∴切线方程为 4x-y-4=0或6x-y-9=0
3.A
解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，
∴大前提错误，追问

第二题为什么(5/2,6)不是抛物线y=x²与直线的切点？

追答

不在抛物线上，它只是切线经过的点。

Answer 2

1.
某物体做直线运动，其运动规律是s=t²+2/t，则它在2秒末的瞬时速度为？
s'=2t-2/t²
s'(2)=4-2/4=2
它在2秒末的瞬时速度为2

2.
抛物线y=x²过点（5/2，6）的切线方程是？
解：设切点(m,m²)
y'=2x
k=2m
切线为 y-m²=2m(x-m)
所以 6-m²=2m(5/2-m)
6-m²=5m-2m²
m²-5m+6=0
(m-2)(m-3)=0
m=2或m=3
所以切线为 y-4=4(x-2)或y-9=6(x-3)
即 4x-y-4=0或6x-y-9=0

3.
有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数f（x），如果f’（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f’（0）=0，所以x=0是函数f(x)=x³的极值点，以上推理中
A。大前提错误 B。小前提错误 C。推理形式错误 D。结论正确

大前提错误，选A
因为可能导函数在x0的两侧的导数值同号，
实际上后面的就是一个反例。

Answer 3

1.某物体做直线运动，其运动规律是s=t²+2/t，则它在2秒末的瞬时速度为？
解：求导
s'=2t-2/t²
带入 t=2得
s'=4-1/2=7/2 m/s

2.抛物线y=x²过点（5/2，6）的切线方程是？
点不在曲线上 设切点为(x0,y0)
则 y'=2x0
直线方程为 y=2x0x-x0²
带入 x=5/2 y=6得
x0²-5x0+6=0
(x0-2)(x0-3)=0
x0=2 或 x0=3
直线为 y=4x-4
或 y=6x-9

3.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数f（x），如果f’（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f’（0）=0，所以x=0是函数f(x)=x³的极值点，以上推理中
A。大前提错误 B。小前提错误 C。推理形式错误 D。结论正确

A大前提错误
因为f'(x0)=0推不出x0就是函数的极值点
只有当 x0的左右两侧的导数值乘积小于0时，才是极值点
x<x0 f'(x)>0
x>x0 f'(x)<0
或
x<x0 f'(x)<0
x>x0 f'(x)>0追问

第二题为什么(5/2,6)不是抛物线y=x²与直线的切点？

追答

因为这个点不在抛物线上啊
带入x=5/2得
y=25/4>6
不在抛物线上

Answer 4

第一题，s对t求导得到，v=2t-2/t^2
令t=2，得到v=3.5
2.求导f‘（x）=2x设点（x，x^2),所求切线方程为Y-x^2=2x(X-x)
将（5/2，6）带入，得到，x=2或3
因此所求切线方程为 y=4x-4或y=6x-9
3.大前提错误，因为这一题大前提是可导函数在导函数为0的点取得极值，小前提，f（x）在x0处导数为0，结论是此处是极值点，显然大前提错了