设函数f(x)<0在区间[a,b]上连续，f'(x)<0，f"(x)>0，记S1=[f(x)在[a

Question

设函数f(x)<0在区间[a,b]上连续，f'(x)<0，f"(x)>0，记S1=[f(x)在[a,b]上的定积分]， S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a),则S1和S3大小如何比较？

Answer 1

证明：
作辅助函数F(x)＝f(x)e∧g(x)
则F'(x)＝f'(x)e∧g(x)＋f(x)g'(x)e∧g(x)
＝[f'(x)＋f(x)g'(x)]e∧g(x)
显然F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且F(a)＝F(b)＝0
由
知，至少存在c∈(a，b)，使F'(c)＝0
即 [f'(c)＋f(c)g'(c)]e∧g(c)＝0
而 e∧g(c)≠0
故 f'(c)＋f(c)g'(c)＝0.