求解：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)=0，反f'(a)f'(b)>0，试证方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根。

如题所述

推荐答案 2011-11-10

证明：假设f(x)=0在(a,b)内无实根，即y=f(x)在(a,b)内与x无交点，即对任意区间内一点x，均有f(x)>0或f(x)<0.不妨看f(x)>0的情形：
根据导数定义：f'(a)=lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)，式中，f(a)=0,x-a>0,由f(x)>0知，f'(a)>0,
同理，f'(b)=lim(x→b) [f(x)-f(b)]/(x-b)，式中，f(b)=0,x-b<0,由f(x)>0知，f'(b)<0,
则f'(a)f'(b)<0与条件f'(a)f'(b)>0矛盾，故方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根。
同样f(x)<0的情形同样证明。

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第1个回答 2011-11-10

利用导数的那个极限式定义。在(a,b)内可又找到异号的两个函数值。
再由介值定理可证。
详细的，见参考资料。

参考资料：http://duodaa.com/view_549.html

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