设f(x)在[a,b]上有连续二阶导数,且f(a)=f(b)=0,M=max|f''(x)|，证明：如图

Question

从(a+b)/2泰勒展开到最后一步两个二阶导是不同点取的，系数一正一负又不能用最大最小值推论，放大得到的又和结果不一样，所以我纠结的是这个地方，可能是思路错了吧。。

Answer 1

具体回答如下：

导数的意义：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数。

Answer 2

其他答案都错了，要么最后绝对值无法缩放。要么从概念就开始出错，正确方法如下，是泰勒公式与分部积分法的结合

Answer 3

不认为这几个回答给了实质性的效果 反而会误导别人 要回答就回答全 话说半句麻烦憋回去

Answer 4

可以用分部积分，f(x)dx a到b的积分=f(x)d(x-a) a到b的积分=1/2[f''(x)(x-a)(x-b)dx] a到b的积分 然后把M带进去放缩就ok了
泰勒展开我也用了。。。没做出来 也是在(a+b)/2展开最后分别取x=a和x=b两式相减消掉两项，剩了两项，有一项消不掉。。而且三次方项的系数是1/24，f(a)=f(b)=0也没用上。。最后还是决定用分部积分本回答被网友采纳

Answer 5

我用泰勒公式这样做的。 把f(x)从a到x的积分 在x0=a处展开 代入x=b得到一式。 在xo=b处展开 代入x=a 得到二式
一式减二式得到2倍的a到b积分=一阶导数项加个二阶导数。 用微分中值定理把一阶导化成二阶算出最值为负三分之一M加上那个二阶导最值六分之一M。最后取绝对值得到a到b的积分最值为十二分之M。