高数问题 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数 且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明 至少存在一点

Question

设f(x)在[a,b]上具有二阶导数 且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明 至少存在一点c属于（a,b),使f‘’（c）=0

Answer 1

由于f''(x)存在可知f'(x)连续，根据连续函数的局部保号性，存在x1和x2使得f'(x1)f'(x2)>0，根据拉格朗日中值定理，存在m和n属于(a,b)使得f'(x1)=[f(m)-f(a)]/(m-a)=f(m)/(m-a)，同理f'(x2)=-f(n)/(b-n)，两式相乘得f'(x1)f'(x2)=-f(m)f(n)/(m-a)(b-n)，由a<m<n<b知f(m)f(n)<0，故根据介值定理知存在x3使得f(x3)=0，再根据f(a)=f(x3)=f(b)，分别用两次罗尔定理，存在p和q使得f‘(p)=f'(q)=0，最后再对f'(x)用罗尔定理，存在c属于(p,q)，使得f''(c)=0