设数列｛an｝的前n项和为sn,证明：｛an｝为等差数列的充要条件是对任意的n∈N﹢,Sn=[n(a₁+an）]／2

详解，拜托。。。

推荐答案 2011-08-23

先证充分：设公差为d,s(n+1）={（n+1)[a1+a(n+1)]}/2为一式，sn=[n(a1+an)]/2为二式，两式相减推出 a(n+1)-a1=n[a(n+1)-an]即nd=nd 证必要：an=a1+(n-1)d①
sn=ai+a2+a3+........an=a1+a1+d+a1+2d+....a1+(n-1)d=na1+{1+2+3+4+。。。（n-1)}d=na1+{[n(n-1)]/2}d而由①知sn=[n(a1+an）]/2=na1+{[n(n-1)]/2}d

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其他回答

第1个回答 2011-08-23

这是书上的例题吧，用倒序相加法就得出来了···

第2个回答 2011-08-23

......

相似回答

设数列{an}的前n项和为sn,证明:{an}为等差数列的充分条件是对任意的n∈...答：当n为奇数 2i+1 时，a(i+1)= (a₁+a(2i+1))/2, 显然，Sn=[n(a₁+an）]／2；

证明:数列{an}为等差数列的充要条件是数列{an}的前n项和为sn=an...答：故an是以a+b为首项,公差为2a的等差数列.必要性：设an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd 则sn=n(a1-d)+d*n(n+1)/2=1/2*dn^2+(a1-d/2)n=an^2+bn 其中a=d/2,b=a1-d/2.故数列｛an｝为等差数列的充要条件是数列｛an｝的前n项和为sn=an²+bn（其中啊a,b为常数）

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2 (n-1)(n∈N*).(1)求证:数列{...答：an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），即an-an-1=4，故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．于是，an=4n-3，Sn=(a1+an)n2=2n2-n （n∈N*）；（2）解：由Sn=nan-2n（n-1），得Snn=2n-1 （n∈N*），

证明:数列{an}为等差数列的充要条件是数列{an}的前n项和为sn=an²+...答：假设｛an｝是公差为d等差数列，则 sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+(a1+(n-1)d)=na1+d*n(n-1)/2 ＝0.5d*n^2+(a1-0.5d)n。反过来设sn=a*n^2+b*n 则an=sn-sn-1=an^2+bn -a(n-1)^2-b(n-1)=2a*n+b-a an-an-1=2a,所以是{an}是等差数列 ...

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