线性代数相似和合同哪个关系更强

Question

如题所述

Answer 1

怎么定义更强？
两者背景不一样，相似关系源自对线性变换的化简，众所周知，线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的。如何选定一组基使得矩阵为对角矩阵，这个问题等价于求矩阵的特征值和特征向量。
对二次型做非退化线性变换就变为合同矩阵的二次型
当然，对于正交变换两者保持一致，因为对正交矩阵P来说，P-1=P'

Answer 2

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。