高三函数数学题

Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x,a≠0,设F(x)=f(x)+g(x).
1.若函数F(x)在区间(1,2)内递增,求a范围
2.证明：对于任意x∈(0,+∞),f(x)≤x^3-x^2
3.是否存在实数m，使得函数y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f（1+x^2） 的图像恰好有4个不同的交点？求出m取值范围

Answer 1

1 . 对F(x)求导
得F'(x)=(1/x)-a(1/(x^2))
令(1/x)=t t的范围是(1/2,1)
那么t-a/t^2>0
即t^3>a恒成立
由于1>t^3>1/8
所以a≤1/8即可
2...
令t(x)=x^3-x^2-lnx
然后求导得t'(x)=3x^2-2x-1/x
假设t'(x)>0
就有3x^3-2x^2>1
令g(x)=3x^3-2x^2 容易看出g(1)=1 g(0)=0
对g(x)求导得g'(x)=9x^2-4x
令g'(x)>0 解出x>4/9
所以x>4/9时 g(x)为增函数 0<x<4/9时 g(x)为减函数
由于g(1)=1 所以对任意x>1 均有3x^3-2x^2>1成立 当0<x<1 均有3x^3-2x^2<1成立
即x>1时...t(x)为增函数... 0<x<1时..t(x)为减函数
所以t(x)的最小值为t(1)=0
即t(x)≥0
即f(x)≤x^3-x^2
(3)
y1=g[2a/(x^2+1)]+m-1=(x^2+1)/2 +m-1
y2=f（1+x^2）=ln(1+x^2)
令1+x^2=w≥1
此时有
y1=w/2 +m-1
y2=lnw
由w=1+x^2知只要w≥1...就会有一个w的值有两个x值对应.因为x=正负根号w-1
所以只要
y1=w/2 +m-1
y2=lnw
有两个交点即可
由一次函数图像的性质知对于任意m...这个函数y1均平行
考虑相切的时候
对y1函数求导得y1'=1/2 对y2函数求导得1/w
那么就是1/w=1/2 w=2
所当w=2时...两函数相切 切点为(2,ln2)
即2/2+m-1=ln2
解出m=ln2
由图像的性质知y1应该要向下平移才与y2有两个交点
所以m<ln2

Answer 2

fack