一个矩阵的特征值和它的奇异值有什么关系

Question

试讨论方阵A的特征值和奇异值的关系,

Answer 1

首先特征值只有方阵才有，奇异值只要是个矩阵就有。

所以你的问题要求同时两者存在，那么矩阵只可能是方阵了。

奇异值是也是按照特征分解的思路，只不过分解的矩阵是 X‘X 或者XX'

特征分解告诉我们，如果方阵X能相似对角化
那么 X=P*特征值对角阵*P逆 P是特征向量组成的方阵
X‘X = U*奇异值对角阵*V
所以对于一般的矩阵来说，特征值两者没有什么必然关系。

但对于特殊矩阵 比如实对称阵，厄米特阵，
那么X转置的特征分解 X’=P'逆*特征值对角阵*P‘ 其中P是正交阵。
X’X= P'逆*特征值对角阵*(P‘*P)*特征值对角阵*P逆 = P'逆*特征值对角阵*特征值对角阵*P逆
可以看出 此时U=P'逆 V=P逆 奇异值=特征值的平方。

Answer 2

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
2求矩阵特征值的方法
Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn
同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]
如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。如果您觉得正确或者采纳的话，麻烦给我好评哦，谢谢。