为了找到矩阵的若尔当标准型，我们首先需要计算特征多项式和特征值。给定矩阵A：
A = | 1 2 0 0 |
| -2 1 0 0 |
| -1 0 1 2 |
| 0 -1 -2 1 |
计算特征多项式：
首先计算矩阵A与 λI 的行列式：
| 1-λ 2 0 0 |
| -2 1-λ 0 0 |
| -1 0 1-λ 2 |
| 0 -1 -2 1-λ |
计算行列式，我们得到特征多项式：
(1-λ)^2 * [(1-λ)^2 + 4]
计算特征值：
由特征多项式我们得到特征值 λ1 = 1 和 λ2 = 1 (两个重复特征值)。
计算广义特征向量：
对于 λ1 = 1 和 λ2 = 1，我们需要计算(A - λI)X = 0 的解，其中X是特征向量。在这种情况下，A - λI 为：
| 0 2 0 0 |
| -2 0 0 0 |
| -1 0 0 2 |
| 0 -1 -2 0 |
求解线性方程组，我们找到两个线性无关的广义特征向量：
v1 = | 1 |
| 1 |
| 0 |
| 0 |
v2 = | 0 |
| 0 |
| 1 |
|-1 |
计算若尔当标准型：
将广义特征向量放入一个矩阵，然后计算逆矩阵与原始矩阵A相乘。然而，在这种情况下，我们注意到广义特征向量恰好是特征向量，因此我们可以得到对角矩阵作为若尔当标准型。所以，若尔当标准型矩阵J为：
J = | 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
这是给定矩阵的若尔当标准型。
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