负定矩阵如何判定半正定、半负定？

Question

如题所述

Answer 1

半负定矩阵的判定条件介绍如下：

半负定是指半负定矩阵，其定义如下是如果对任何非零向量x，都有x'Ax≥0或x’Ax≤0成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则矩阵A称为半负定矩阵，半负定二次型矩阵负定的充分必要条件是所有的奇数阶主子式为负且所有的偶数阶主子式为正。

设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过变换A后所得到的A和仅差一个常数因子，即A=k则称k为A的特征值，称为属于特征值k的A之特征向量或特征矢量，也就是一个向量或函数被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。

负定矩阵的定义是设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵，A∈MnK是负定矩阵的充要条件是-A是正定矩阵，A∈MnK是负定矩阵的充要条件是A-1是负定矩阵，A∈MnK是负定矩阵的充要条件是A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

Answer 2

在数学中，负定矩阵是一种矩阵，其特征值都是负数。判定负定矩阵的方法如下：

- 首先，求出该矩阵的顺序主子式；
- 然后，检查所有的顺序主子式，如果它们都是负数，那么该矩阵就是负定矩阵。

如果该矩阵的顺序主子式中至少有一个是正数，那么该矩阵就是半正定矩阵。如果该矩阵的顺序主子式中至少有一个是零，那么该矩阵就是不定矩阵。如果该矩阵的顺序主子式中至少有一个是负数，那么该矩阵就是半负定矩阵。