函数极限存在的充要必要条件

Question

如题所述

Answer 1

充分性:(已知左右极限存在且相等，证明极限存在)
设lim[x→x0+] f(x)=lim[x→x0-] f(x)=A
由lim[x→x0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当0<x-x0<δ1时，有|f(x)-A|<ε成立;
又由lim[x→x0-] f(x)=A，存在δ2>0，当 -δ2<x-x0<0 时，有|f(x)-A|<ε成立; 取δ=min{δ1，δ2}，则当0<|x-x0|<δ时， 若x>x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立， 若x<x0，则-δ2≤-δ<x-x0<0成立， 因此无论哪种情况，均有|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0] f(x)=A。

必要性:(已知极限存在，证明左右极限存在并相等)
由lim[x→x0] f(x)=A，则任取ε>0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立 此时有:0<x-x0<δ时，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0+] f(x)=A;
同理，此时有:-δ<x-x0<0 时，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0-] f(x)=A.

综上所述：函数极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在且相等.