证明底边与面积为定值的三角形中,等腰三角形的周长为最小

Question

怎么证明同底等高的三角形中，等腰的三角形周长是最短的？

Answer 1

可用列函数求极值的方法证明：
设底边为BC=a，高为h,且高线与底边交于D, BD=x,
三角形的腰长设为m和n,
则有 m²=h²+x², n²=h²+(a-x)²
周长 y=m+n+a=√(h²+x²)+√[h²+(a-x)²]+a
对 y=√(h²+x²)+√[h²+(a-x)²]+a求导
y'=[x/√(h²+x²)]-[(a-x)/√[h²+(a-x)²]
求驻点可得 x²h²-(a-x)h²=0，就是 x²=(a-x)²
x=±(a-x)，取x=a-x, a=2x,
就是 BC=2*BD, 可证明D点在底边中点时周长为最小，
而此时三角形即为等腰。

Answer 2

可将问题转化为：已知三角形ABC中，AB=AC，过点A作直线l‖BC，p是l上异于点A的任意一点，
求证：AB+AC≤PB+PC
证明：作点B关于l的对称点D，连接AD,PD，则
AD=BD，PD=PB，点D、A、C在一条直线上，
所以：AB+AC≤PB+PC
http://zhidao.baidu.com/question/112101662.html

或见http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/ee439d1d0d59a18c87d6b69c.html本回答被提问者采纳

Answer 3

不知你是否学过椭圆，如果学过就借用椭圆的定义加以证明，否则只能通过二次代数式求最小值了