可逆的线性变换为什么不改变函数性质

Question

如题所述

Answer 1

可你线性变换，几何意义，其实是实现了函数的平移，旋转，所以没改变参数，和性质。

比如二次型化为标准型的过程中，
原方程
f=XAX'
转化后
f=YKY'
其中K是与A相似的对角阵。X=CY，C是单位正交矩阵。

X=CY，只是实现了从X坐标系转换到了Y坐标系，但是表征参数的矩阵，从A变成了K，可是他们的特征值是一样的，所以两个函数图象的参数是不变的。追问

现在在学实二次型，将函数化为平方和时，书上有一句话是这样的：再化简过程中，作了线性变换，这种做法的合理之处在于：变量的线性变换是可逆的。这使得变换前后变量的取值是一一对应的，因此没有改变函数的性质。这句话如何理解？还有，为什么可逆的线性变换不改变函数的性质，如果是不可逆的线性变换呢？

追答

不知道。反正我觉得决定两个函数参数的应该是，绝阵A和K的特征值。
而且在变换的过程中X=CY的那个C是单位正交矩阵，就保证了|X|=|Y|
也就是说，新坐标和新坐标原点的距离，与旧坐标系中是一样的。

其他的我也说不清了。