幂等矩阵的特征值是多少

Question

如题所述

Answer 1

设A是幂等矩阵，则 A^2 = A

设λ是A的特征值，则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值

而A^2-A=0，零矩阵的特征值只有0

所以 λ^2-λ = 0

所以 λ(λ-1) = 0

所以λ=0或λ=1

即A特征值是0或1

即幂等矩阵的特征值是0或1

若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵。

由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。

扩展资料：

幂等矩阵的主要性质：

1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2、幂等矩阵可对角化；

3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4、可逆的幂等矩阵为E；

5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6、幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7、幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8、A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A)，且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算。

参考资料来源：百度百科——幂等矩阵

Answer 2

设A是幂等矩阵, 则 A^2 = A.
设λ是A的特征值, 则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值.
而A^2-A=0, 零矩阵的特征值只有0
所以 λ^2-λ = 0.
所以 λ(λ-1) = 0.
所以λ=0或λ=1.
即A特征值是0或1.
即幂等矩阵的特征值是0或1.

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