为什么连续是函数在x＝x0点的极限值？

Question

如题所述

Answer 1

实际上，函数在某一点连续，并不是说"连续是函数在 ( x=x_0 ) 点的极限值"。连续性的概念，是一个描述函数在某一点附近的行为的性质。当我们说函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 连续时，我们指的是：
函数在点 ( x_0 ) 是定义的，即 ( f(x_0) ) 有意义。
函数在点 ( x_0 ) 的极限存在。
函数在点 ( x_0 ) 的极限值等于函数值 ( f(x_0) )。
用极限的数学语言可以这样表达：
limx→x0f(x)=f(x0)
这意味着，无论从 ( x_0 ) 的左侧还是右侧趋近于 ( x_0 )，函数值 ( f(x) ) 的趋势都是接近于 ( f(x_0) )，并在 ( x_0 ) 点达到该值。也就是说，函数图像在 ( x_0 )点是无断点、无跳跃、无无限接近但不相等的情况，即函数图像在该点周围是连续变化的，没有突变。
因此，我们可以说在 ( x_0 ) 点的连续性是由函数在该点的极限值与函数值的一致性来判定的，而不是连续性定义了函数在某一点的极限值。

Answer 2

若函数f(x)在x＝x0点处连续，则函数f(x)在x＝x0点处的极限值等于函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)＝f(x0).
反之，若函数f(x)在x＝x0点处有极限，极限值不一定等于函数值，所以不一定连续.
如f(x)＝(x^2－1)/(x－1)，lim(x→1)f(x)＝2，但是f(1)不存在，所以f(x)在x＝1处不连续.
所以，函数f(x)在x＝x0点处连续是f(x)在x＝x0处有极限的
充分不必要条件