在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过P（ ，5），A（0，2）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过P（ ，5），A（0，2）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标。

Answer 1

解：（1）根据题意得 解得 所以抛物线的解析式为 ； （2）由 得抛物线的顶点坐标为 ， 依题意，可得 ，且直线l过原点， 设直线l的解析式为 ， 则 ，解得 ， 所以直线l的解析式为 ； （3）到直线 距离相等的点有四个， 如图，由勾股定理得 ，所以 为等边三角形， 易证x轴所在直线平分 ，y轴是的一个外角的平分线， 作 的平分线，交x轴于 点，交y轴于 点，作 的 相邻外角的平分线，交y轴于 点，反向延长交x轴于 点， 可得点 就是到直线 ，距离相等的点，可证 均为等边三角形，可求得： ① ，所以点 的坐标为 ； ②点 与点A重合，所以点 的坐标为 ； ③点 与点A关于x轴对称，所以点 的坐标为 ； ④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N， ，且 ，所以点 的坐标为 ， 综上所述，到直线 距离相等的点的坐标分别为 ， ， ， 。