不定积分换元法

Question

如题所述

Answer 1

用第二类换元法求不定积分先写成x=φ（t）的形式。那么现在的问题就是如何确定这个φ（t），也就是说选择怎样的三角函数进行代换。可以发现，根式里的式子是a方+x方，当我提出a方的时候，就有a*根号下[1+(x/a)方]，马上联想到1+tan方t=sec方t，那么就是说x/a=tant，x=atant。这里选用的是x=atant而没用x=asint，是因为当我选用了x=atant，正好可以化去根号。而如果选择x=asint，根号仍然存在，相比之下，用x=atant就能使解题更加便捷。这里的x=atant其实就是这道题的φ（t）。不同的题，可以选择不同的三角代换，例如如果说是根号下a方-x方，提出a方，就是a*根号下[1-(x/a)方]，马上想到1-sin方t=cos方t，这里就用x=asint，而不是x=atant（理由与上面的类似）。不同类型的题目选择适合的三角代换就能使解题更便捷，而不是仅限于所有的代换都用x=asint。

Answer 2

首先你要懂得导数的运算公式，求不定积分是求导的逆过程
∫
x/(1
+
x²)
dx
=
∫
1/(1
+
x²)
•
(x
dx)
=
∫
1/(1
+
x²)
d(x²/2)
这里其实是对x求积分的，即x
dx
~
∫
x
dx
=
x²/2
+
C
~
d(x²/2
+
C)
=
d(x²/2)，C在求导后变为0
或者用导数容易理解，就是(x²/2)'
=
d(x²/2)/dx
=
1/2
•
2x
=
x
变为微分形式就是d(x²/2)
=
x
dx
再次根据求导的原理
由于任何常数的导数都是0
d(C)/dx
=
0
==>
d(C)
=
0
而d(Cx)/dx
=
C
•
dx/dx
=
C
==>
d(Cx)
=
C
•
dx
再进一步，d(Ax
+
B)/dx
=
(A
+
0)
=
A
==>
d(Ax
+
B)
=
A
•
dx
于是d(u
+
1)/du
=
(u
+
1)'
=
1，u
+
1对u求导
得出d(u
+
1)
=
du，两边乘以du即可，这是微分形式