圆的切线方程公式证明

Question

过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r^2
过圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)]+F=0
过圆外一点P(x0,y0)圆的切线切线长为√[(x0-a)^2+(y0-y)^2-r^2}或√（x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F)
纠正一下啊
过圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)/2]+F=0

Answer 1

证明：
设圆上一点A为（x0,y0),则该点与圆心O的向量OA=（x0-a,y0-b)
因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.
设直线上任意点B为(x,y)
则直线方向上的向量AB=（x-x0,y-y0)
AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)=0
将（x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)变形处理：
原式
=（x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)
=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2
将变形带入。
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
第二个问题其实是同一个问题，同上。

第三个问题：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(x+d/2)^2+(y+e/2)^2=d^2/4+e^2/4-f
所以圆心O(-d/2,-e/2),r^2=d^2/4+e^2/4-f
设A(x0,y0) 切点是B
AO^2=(x0+d/2)^2+(y0+e/2)^2
OB^2=r^2=d^2/4+e^2/4-f
OAB是直角三角形
所以AB^2=OA^2-OB^2=(x0+d/2)^2+(y0+e/2)^2-d^2/4-e^2/4+f
=x0^2+dx0+y0^2+ey0+f
所以切线AB长=√(x0^2+dx0+y0^2+ey0+f)
用勾股定理显然可得AB长=√[(x0-a)^2+(y0-y)^2-r^2]

Answer 2

看图

Answer 3

证明：

1、圆心（a,b）和切点(x0,y0)的斜率为(y0-b)/(x0-a)

所以切线的斜率为-(x0-a)/(y0-b)

因为切线过（x0,y0）

所以切线为y=-(x0-a)/(y0-b)(x-x0)+y0

整理得(x0-a)(x-x0)+(yo-b)(y-yo)=0  ①

因为(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2          ②

①、②两式相加得到(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r^2

2、可知圆心为（-D/2,-E/2）

代入①式得到(x0+D/2)(x-x0)+(yo+E/2)(y-y0)=0  ③

因为x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F=0                       ④

把③、④相加得到x0x+y0y+D[(x+x0)/2]+E[(x0+x)/2]+F=0

3、x2+y2+Dx+Ey+F=0

(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-f

所以圆心O(-D/2,-E/2),r^2=D^2/4+E^2/4-F

设A(x0,y0) 切点是B

AO^2=(x0+D/2)^2+(y0+E/2)^2

OB^2=r^2=D^2/4+E^2/4-f

OAB是直角三角形

所以 AB^2=OA^2-OB^2=(x0+D/2)^2+(y0+E/2)^2-D^2/4-E^2/4+F

=x0^2+Dx0+y0^2+Ey0+F

所以切线AB长=√(x0^2+Dx0+y0^2+Ey0+F)

用勾股定理显然可得AB长=√[(x0-A)^2+(y0-B)^2-r^2]

扩展资料

切线的主要性质

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

参考资料：

百度百科—切线方程

百度百科—切线定理

本回答被网友采纳

Answer 4

h-sd=x- x-sdas=x-d