二元隐函数的求导问题，通常涉及一个由两个变量
𝑥
x 和
𝑦
y 构成的方程
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
)
=
0
F(x,y)=0。我们要求的是
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
dx
dy
，即当
𝑥
x 变化时
𝑦
y 的变化率。
推导过程如下：
从隐函数
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
)
=
0
F(x,y)=0 出发，这个方程定义了
𝑥
x 和
𝑦
y 之间的某种关系。
对方程两边关于
𝑥
x 进行微分，使用链式法则处理
𝑦
y 是
𝑥
x 的函数这一事实。
得到
𝐹
𝑥
+
𝐹
𝑦
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
0
F
x
+F
y
dx
dy
=0，这里
𝐹
𝑥
F
x
表示
𝐹
F 关于
𝑥
x 的偏导数，而
𝐹
𝑦
F
y
表示
𝐹
F 关于
𝑦
y 的偏导数。
然后解出
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
dx
dy
，即隐函数的导数：
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
−
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦
dx
dy
=−
F
y
F
x
（在
𝐹
𝑦
𝑒
𝑞
0
F
y
eq0 的情况下）。
详细推导过程：
假设有一个由两个变量
𝑥
x 和
𝑦
y 构成的方程
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
)
=
0
F(x,y)=0，其中
𝐹
F 是一个可微的函数。我们想要找到
𝑦
y 关于
𝑥
x 的导数，记作
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
dx
dy
。
首先，我们对方程
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
)
=
0
F(x,y)=0 两边同时对
𝑥
x 进行微分，应用链式法则来处理
𝑦
y 是
𝑥
x 的隐函数的情况：
𝑑
𝑑
𝑥
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
)
=
𝑑
𝑑
𝑥
0
dx
d
F(x,y)=
dx
d
0
这给出：
𝐹
𝑥
+
𝐹
𝑦
𝑓
𝑟
𝑎
𝑐
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
0
F
x
+F
y
fracdydx=0
这里，
𝐹
𝑥
F
x
是
𝐹
F 关于
𝑥
x 的偏导数，
𝐹
𝑦
F
y
是
𝐹
F 关于
𝑦
y 的偏导数，而
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
dx
dy
是我们要找的导数。
接下来，我们的目标是解出
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
dx
dy
，所以我们将上面的等式重新排列：
𝐹
𝑦
𝑓
𝑟
𝑎
𝑐
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
−
𝐹
𝑥
F
y
fracdydx=−F
x
然后，我们将两边都除以
𝐹
𝑦
F
y
（在
𝐹
𝑦
𝑒
𝑞
0
F
y
eq0 的情况下），得到：
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
−
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦
dx
dy
=−
F
y
F
x
这就是二元隐函数的求导公式。它告诉我们，如果我们知道
𝐹
F 关于
𝑥
x 和
𝑦
y 的偏导数，我们就可以计算出
𝑦
y 关于
𝑥
x 的导数。需要注意的是，这个公式只在
𝐹
𝑦
F
y
不为零的情况下有效，因为如果
𝐹
𝑦
=
0
F
y
=0，那么我们将无法通过这种方式解出
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
dx
dy
。
总结一下，二元隐函数的求导公式是：
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
−
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦
dx
dy
=−
F
y
F
x
这个公式是通过利用微分学中的链式法则和隐函数微分的基本概念来推导的。
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