首先选取一个任意小的正数ε,对于这个已选为定值的ε,如果在数列{xn}中可以找到它的第N项,使得该数列中位于第N项后面的那些项（即n>N时）都满足不等式|xn-a|N时（例如n=1001,1002...)都有|xn-0|
对于任意给定的ε，存在N，这个N其实就是ε的一个函数，所以有些书上把它写成N（ε）．注意随着ε的变化，N理所当然是可以随之变化的。
用逻辑语言来表述，就是，对任意小的Epsilon>0（用来刻画接近程度），存在某个N，当n>N时（对这些充分靠后的n），数列值和极限值的差的绝对值小于Epsilon（小到了我们事先期待的程度）
近现代数学很偏重语言，你需要对“数学语言”有深刻的认识。为了达到这点，一要适当做题体会，二要具备一定程度的心智上的成熟。
扩展资料
举例：
已知对于任意正整数n，都有a1＋a2＋．．．＋an＝n＾3，则lim［1／（a2－1）＋1／（a3－1）＋．．．＋1／（an－1）］＝：
解:由题意得当n>2时,a(1)+a(2)+a(3)+。。。。。。+a(n-1)
＝（n－1）＾3。该式与原式相减得a（n）＝n＾3－（n－1）＾3＝3n＾2－3n＋1。
因此1／（a（n）－1）＝1／（3n＾2－3n）＝1／3（n－1）－1／3n。
从而1／（a（2）－1）＋1／（a（3）－1）＋1／（a（4）－1）＋。。。。。。＋1／（a（n）－1）
＝（1／3－1／6）＋（1／6－1／9）＋（1／9－1／12）＋。。。。。。＋（1／3（n－1）－1／（3n））
＝1／3－1／3n由此可得原式
＝lim（n→＋∞）（1／3－1／3n）
＝1／32。解：
lim（n→＋∞）na（n）
＝1／2·lim（n→＋∞）2na（n）
＝1／m（n→＋∞）a（n）
＝lim（n→＋∞）1／n·lim（n→＋∞）na（n）
＝0×1／2＝0。
因此原式
＝lim（n→＋∞）a（n）－lim（n→＋∞）na（n）
＝0－1／2。
ε-δ、ε-N method（precise method）。
极限的计算：算出当x无限地趋向于某个值x时，函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值，就是直接代入。有些情况是无法直接代入的，这就是不定式的七种类型，譬如分子分母都趋向于0，我们就不能分子分母都代入0。
当a=0时
原式=1+1+1+……+1（共有n+1个1）=n+1
当a=1时
原式
=1+（1+1）+（1+1+1）+……+（1+1+……+1）
=1+2+3+……+（n+1）
=（n+1+1)(n+1)/2
=(n+2)(n+1)/2
当a≠0,1
因为1+a+a^2+……+a^n=1×[1-a^(n+1)]/(1-a)=1/(1-a)-a^(n+1)/(1-a)
原式
=1+(1+a)+……(1+a+a^2+……+a^n)
=1/(1-a)-a^(0+1)/(1-a)+1/(1-a)-a^(1+1)/(1-a)+……+1/(1-a)-a^(n+1)/(1-a)
=1/(1-a)×(n+1)-[a/(1-a)+a^2/(1-a)+……a^(n+1)/(1-a)]
=(n+1)/(1-a)-(a+a^2+……+a^(n+1))/(1-a)
=(n+1)/(1-a)-{a[1-a^(n+1)]}/(1-a)^2
=[(n+1)(1-a)-a+a^(n+2)]/(1-a)^2
扩展资料：
可定义某一个数列{xn}的收敛：
设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥ε，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
参考资料来源：百度百科-极限
本回答被网友采纳ε-δ、ε-N method（precise method）。
下面是本人两次回答的记录。
【第一次的回答】
一、极限的计算：
就是算出当x无限地趋向于某个值x。时，
函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值？
在一般情况下，就是直接代入。
有些情况是无法直接代入的，这就是不定式的七种类型，
譬如分子分母都趋向于0，我们就不能分子分母都代入0。
而是要找出它们的比例的值，究竟越来越趋向于什么数？
这样的结果，我们就产生了各种各样的计算极限的方法。
二、极限理论的证明。
这部分不好理解，请楼主细细看看下面的解释，会豁然开通。
1、极限的最早萌芽概念，我们祖先也有过，但是被当成诡辩学而埋葬了。
时至今日，仍有绝大多数数学教师，一提到诡辩学，立马教条式地彻底
否认，没有思辨的任何理性空间，更不会思考地中海附近的那些古圣贤
们是如何从理性推演的？
2、鬼子的祖先也有诡辩学，他们认认真真地研究了paradox，由此
建立了极限理论。极限理论是桥梁，桥的这边是初等数学，桥的那边
是微积分，是高等数学。桥的这边是东方数学、经典数学，桥的那边
是西方数学，是当代数学。我们的理论贡献局限在桥这边，桥那边的
理论世界的建设，我们几乎完全是手无寸功，我们在科研上的落后就
是从这里开始的，滑铁卢之战就是在这里打响的。
3、极限的理论究竟是什么呢？
第一，极限的证明理论
这就是我们的大学新生大学伊始时，兴致勃勃的心情遇到的第一记沉重
的闷棍。极限的理论，其实是吵架的理论，是无止境争辩的过程，也是
无穷列举法的理论化过程。
例如：
(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时，x² 就无限趋近于 4。
(2)、你不信，你要我证明给你看。
(3)、我说，那你随便给一个很小的数，你给了0.5。
(4)、我通过计算，我说只要 x = 2.10 就行。
(5)、你反悔了，改成了0.4。
(6)、我重新计算了一下，我说只要 x = 2.09 就行。
(7)、你又反悔，又改成了0.3。
(8)、我又重新计算，我说只要 x = 2.07 就行。
(9)、你再次反悔，再改成0.2。
(10)、我再次计算，我说只要 x = 2.04 就行。
、、、、你不断地反悔，不断地提出越来越苛刻的数据，我也不断地计算，
不断给出越来越接近于2的具体数，也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程
度、、、、、
结果我们都厌烦了。
(11)、我说，别闹了，你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧。
(12)、你给出了一个代号 ε。
(13)、我根据你的代号 ε，经过一番计算，找到了另外一个数字代号 δ。
我对你说，你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了。
算了，算了，我把计算公式也给你吧，你自己出 ε，自己去找 δ，
这样你还有什么话说？
争吵就这样结束了，无穷列出变成了一个理论计算过程，结果就得到了证明。
这个证明逻辑思路是：
只要你给得出一个无论多小的数，ε；
我就能根据你的 ε，算出一个 δ ；
只要将x 的取值，限制在 δ 的范围内，函数值与极限值之差就小于 ε。
由于 ε可以任意的小，两者之差可以无止境的小下去，就证明了极限。
δ 是根据 ε 算出的，我算出一个δ，你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围，
所以，ε是任给的，δ 是根据 ε 推算的，但 δ 不是唯一的，可以有无数个
更严格的、更小的值。所以说，总存在一个 δ，但是这个 δ，必须由我们
去根据 ε找出来。
第二、极限的计算
微积分的前面部分，就是寻找各种计算方法，最典型的是罗毕达法则。
第三、极限的运用
可以说极限是微积分的基础，也可以说，微积分是极限理论的运用。
如果你不能明白极限的理论证明方法，那么，
我们得恭喜你！
你真正理解了、体会了、经历了我们传统的优秀数学史，但是，
到了近代数学时，怎么突然落后了、落伍了、无助了、茫然了？
当代理论，我们没有参与建立，迄今为止，我们还处于三流开外。
如果你明白了极限的理论证明方法，那么，
我们得祝贺你！
你真正地开始领略到了、见证了、突破了现代数学、现代科学的真谛。
体会到了、感受到了我们传统的、定性的、模棱两可的、之乎者也的
学风，跟现代数学、现代科学、现代医学、、、、、、之间的鸿沟是
多么得深！是多么得广！是多么得格格不入！是多么得不可同日而语！
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【第二次的回答】
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1、ε 是任意给的，但不是确定的！
ε 可以随时更改，可以改得越来越小，但 ε 并不是无穷小；
ε 仅仅是一个象征性的很小的、可以任意更改的正数。
任意的意思：
可以任意地小；可以任意地更改；
针对任何一个给出的 ε 的情况下，找到 δ ，或 N，
这是极限证明的核心！
也就是说，
δ 或 N 是 ε 的函数，是由 ε 决定的；
随便更改 ε，δ 或 N 也随之更改。
2、就 ε-N 证明方法而言，
根据 ε ，计算出一个 N，这个 N 也不是固定的：
A、N 的取值跟 ε 紧密相关，或者说 N 由 ε 所确定；
B、但是，在具体证明时，为了证明过程的顺利进行，
可以取不同的 N。也就是说，根据 ε，解不等式，
原本可以解出一个 N，假设为 N₁，可能解题困难，
我们可以放大这个，变大成为 N₂，N₂ > N₁，为了
严格证明，我们取 N = N₂。
也可能写成 N = max{N₁, N₂, N₃, N₄, 、、、}。
然后，当 n > N 时，由极限计算式算出的值，跟极限值之差，
就小于 ε，证明就结束了。
3、极限证明的过程，其实就是：
A、一个争吵的过程；一个无穷列举理论化的过程；
B、一个无止尽耍赖皮的过程，ε 可以任意给，也就是可以更改，
根据 ε 找到 N 的过程，就是理论化的过程。无论怎样更改 ε，
无论怎样耍无赖，只要 ε 给得出，N 就找得到。
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这个过程就是理论化的过程，就是 tendency 的过程。
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只是我们的教学，过于花拳绣腿，大大咧咧地忽视了 tendency，
仅仅着重于极限的限 limiting、limitation。
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如果认识不到这点，到头来，是不可能获得真正的感悟的。
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学过极限证明理论的人每年千千万万，绝大多数，只是凑热闹而已。
他们永远悟不出真谛，包括绝大多数数学教师，都是人云亦云，不知所云。
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加油吧！
极限理论已经成熟了几百年了，极限的理论，是鬼子建立的，
是鬼子整合的，是鬼子完善的。
迄今为止，
A、我们的教师在教书时，会下意识地暗示学生，似乎极限理论的建立，
我们也起了什么作用！
B、极限理论似乎刚建立起来不久，更好像还在建立过程中！
这些是刻意的误导！刻意的忽悠！
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经常有学生问：
1、极限理论研究的现状如何？
2、我国目前对极限研究的现状如何？
、、、、、、、、、
看到这些令人哭笑不得的问题，都一再表明，可怜的孩子们已经被可恶
的教师们当成了白痴在玩弄！
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加油吧！任重而道远！你们实在是任重而道远！
任重在于，雪耻教师们对当代科学毫无贡献的耻辱！
道远在于，纠正教师们有意无意的根深蒂固的误导！
.本回答被提问者和网友采纳